兩圓重疊問題你會求解嗎?這個問題的準確答案,德國數學家最近才找到
2020年12月13日21:56

原標題:兩圓重疊問題你會求解嗎?這個問題的準確答案,德國數學家最近才找到

蕭簫 發自 凹非寺

量子位 報導 | 公眾號 QbitAI

先來看一道簡單的幾何問題:

下圖中,黑圓恰好將紅圓的面積等分,且黑圓的圓心恰好在紅圓上。假設紅圓半徑為R,黑圓半徑為r,求r。

是不是感覺已經信手拈來,能在紙上演算一通了?

然而,就是這個看起來簡單的數學難題,讓數學家們想了幾百年,都沒能給出它的解析解。

解析解,指用精確的數學表達式寫出的方程解。有些方程難以求出解析解,只能寫出近似解。如下圖,x=cos(x)就沒有解析解,方程的解只能近似為x≈0.7390…

△x=cos(x),x沒有解析解

這個難倒數學家的問題,叫做「山羊問題」 (goat problem),最初的問題描述是這樣的:

將一隻山羊拴在面積為1英畝的圓形草地的圍欄上,請問栓多長的繩子,才能讓山羊剛好吃到半英畝的草?

問題提出後,已有數學家給出了2種求解方程。但,僅僅是“方程”:
這個問題的精確答案,即如何準確地用圍欄半徑來表示繩子長度,卻一直懸而未解。

美國海軍學院數學家Mark Meyerson曾表示,對於這一問題,此前“沒人知道確切答案,解決方法只是大致給出的。”

直到今年,才有一位叫做Ingo Ullisch的德國數學家,給出了這個問題的解析解。

從迭代到積分,求出來的還是方程

如果用數學的語言來描述這個問題,它是這樣的:

一個半徑為R的圓A,與另一個半徑為r的圓B相交,其中圓B的圓心在圓A上,且兩個圓的相交面積為圓A面積的一半,求解r。

如果只是列出有關r的方程,目前已經有兩種方案。

第一種方案,代入求解透鏡面積的方程。

透鏡由兩個(半徑相同或不同的)圓相交構成,求解它的面積A,目前已有這麼一個公式(其中,兩圓半徑為R和r,圓心之間的距離為d):
顯然,「山羊問題」也能用透鏡面積方程來求解。假設圍欄的半徑為1,那麼在「山羊問題」中,求解條件將變成R=d=1,且A=1/2π,求解出來的r符合這一方程式:
這個方程需要用迭代法求解,能得到r=1.1587…的答案。

但這不是數學家想要的結果。

不願意就此放棄的數學家們,試圖用求積分來解決這一問題,並給出了第二種方案:

這次,他們求出了左邊有r的式子,但遺憾的是,這其實是個超越方程 (指方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數,類似於x=cosx):
這些看似都能求解出r,但實際上只能算出數值解,而非解析解。

最後用上了複變函數

直到今年,一個名為Ingo Ullisch的科學家,才終於給出了問題精準的解析解。

不過,為了求解這一問題,他甚至用上了複變函數的知識,這也使得式子變得複雜不已。

但也得益於他的貢獻,這一問題自被提出以來,第一次有瞭解析解:

那麼,這個式子是怎麼被求解出來的呢?根據Ullisch的思路,他以兩個圓的圓心與其中一個交點相連,組成了一個三角形,如下圖所示。
其中,三角形的兩個底角分別被設為α/2和β/2。

在經過一系列複雜運算後,Ullisch將式子簡化成了下面這個方程:

求解這一方程,就能得到解析解,但會用到複變函數相關的定理。

Ullisch表示,這一問題之所以複雜,是因為問題本質上相當於給定了一個面積固定值,並倒推出它的輸入。

但如果想要逆轉這一過程,反向求解出輸入的定義,問題就會變得棘手。

CMU的數學教授Michael Harrison表示,這是他所知道的有關「山羊問題」的第一個明確的解析解。

“這絕對是一個進步。”

這也是山羊問題系列中,最原始、最根本,也是最難的問題之一。

有關山羊的問題,還有這麼多

事實上,自1748年來,數學家們還從最原始的山羊問題中,思考出了各種問題的變體(換著花樣找難題做)。

例如,除了讓山羊在圍欄內吃草,還讓山羊到圍欄外吃草,並計算它能吃到的最大草地面積(其中,繩索長度和圍欄周長固定):

此外,甚至還讓羊飛上了空中,讓它在三維的世界里吃草(空間中的山羊問題):
當然,根本問題還是求解球的半徑r,使得兩個相交球的相交體積正好是單位球體積的一半。

不過,蘭卡斯特大學的數學教授Graham Jameson表示:“三維問題實際上比二維問題更容易解決。”

數學家Fraser表示,這是因為,如果將問題放在無限的維度中,數學家們可以推論出一個更明確的答案。

例如,將這個問題放到n維空間時,Fraser就推算出,當n接近無窮大的時候,繩子與限定球體的半徑比接近於√2。

然而在二維世界里,這種明確的答案反而很難找。

因此,這次Ullisch求出的解析解,也是「山羊問題」系列的重大突破。

不過Ullisch也承認,這一問題的解決,並不會顛覆教科書或數學的研究,因為它只是一個孤立問題,不僅與其他問題無關,也沒有嵌入數學理論。

但數學家們仍然非常激動。

Mark Meyerson表示:

為數學題尋找新的解法,通常是很有價值的,這些解法不僅可以再次給已解決的問題帶來新思路,還可以將之推廣到其他問題上。

數學家Harrison則認為:

雖然解決放牧山羊的問題不會取得突破性的數學成果,但數學領域的新方向,永遠可能來自任何地方。

而提出山羊問題超越方程的Hoffman,也有類似的看法:

並非所有的數學進步都來自於取得根本性突破的人。有時候,這種進步也包括研究經典方法並找到新的角度,最終可能會帶來意想不到的效果。

當然,網友在祝賀之餘,也有表示這一問題“不太符合生活常理”的:

我認為這個問題,是沒有山羊相關的經驗的人提出的。因為我一想到山羊,就會想到它們在拚命跳籬笆、嚼繩子……這讓我沒辦法專心解決這個問題。
山羊問題解析解論文:

https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0

參考鏈接:

https://news.ycombinator.com/item?id=25375575

https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/

https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem#cite_note-1

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