一個簡單易懂,卻可能沒有答案的數學問題
2020年09月26日11:20

  文章來源:原理

  著名數學家陶哲軒的伯樂保羅·埃爾德(Paul Erdös)曾說:“數學還沒有做好準備面對這樣的問題”。專門研究這個問題的數學家Jeffrey Lagarias說:”這是一個危險的問題。人們沉迷於這個問題,但解決它真的是不可能的任務。“

  兩位數學家口中所說的問題,名為考拉茲猜想。

  考拉茲猜想是數學中最引人注目的難題之一,它由德國數學家洛塔爾·考拉茲(Lothar Collatz)於1937年最早提出。與眾多晦澀難懂的數學猜想不同的是,它看起來非常簡單,任何已經學過加減乘除的小學生都可以對它進行推演。

  考拉茲猜想說的是:無論選擇什麼正整數作為開始,通過應用上述函數中的規則,最終都會得到1。

  這個問題說起來很簡單,理解起來也很容易,從f(n)的表達式來看,它的運算規則一目瞭然:對於任何正整數,如果數字是偶數,則將其除以2;如果數字是奇數,則讓其乘以3,再加1,再除以2;一遍一遍地重複這個過程,直到得到1,然後開始陷入一個循環。

  以數字13為例:13是奇數,所以對於f(13)來說,它需要乘以3得到39,加1得到40;這時,40是偶數,所以f(40)需要除以2,得到20;再用20來重複這個計算;20又是偶數,所以只需繼續除以2得到10;10還是偶數,除以2後得到5;5是奇數,乘以3、再加1再除以2,得到8;8為偶數,除以2等於4;4再除以2得到2;最後2除以2得到1。

  當1開始出現時,事情開始變得有趣了。1是奇數,它需要乘以3再加上1,於是你又會重新得到4。接下來,故事的發展就是我們已經知道的那樣,4到2到1再到4——陷入一個循環。如果用箭頭來表示整個計算過程,以13為例,我們就會得到考拉茲序列:

  任何正整數都會進入這個循環嗎?

  這正是考拉茲猜想所預測的:無論你以任何正整數開始,最後都會以這個循環結束。不信的話你可以拿任何正整數來試試,看會不會都最終陷入這樣一個循環。

  圖片來源:swimmingthestyx.com

  其實,如果你想要找到一個反例,可能需要代入一個稍微大點的數字才可能有機會,因為目前在計算機的幫助下,數學家已經對每一個小於2⁶⁸的數字進行了驗證。儘管每個已被試過的正整數都會在這個循環中結束,但我們仍然不能確定考拉茲猜想是否總是正確,它至今仍只是個猜想,始終沒有人能為這個看似簡單易懂的猜想給出完整的證明。

  圖片來源:wordpress.com

  為什麼證明每一個數字都符合這個猜想會如此之難呢?

  要證明這個猜想,一個重要的思路是,如果能夠證明當對任何正整數運用函數f的運算法則時,總會得到更小的數,那麼這將會是證明這一猜想的關鍵。這是什麼意思?我們可以以一個與函數f相似,但又稍微簡單一點的分段函數g為例。

  繼續13為例,在函數g下,13的序列會是:

  當g中出現1時,它的循環變成了

  相比於f,13在函數g的運算規則下進入循環的速度更快。那麼,對所有的正整數來說,在函數g中迭代是否總能循環到1呢?答案是肯定的,這是可以被證明的。

  在函數g中,如果n是正偶數,那麼g(n) = n/2,始終小於n本身。也就是說,當在函數g中迭代的數字為偶數時,下一個數字一定會更小;如果n是正奇數,那麼g(n) = n + 1,大於n,而n + 1是偶數,那麼接下來,下一個數字將變成(n + 1)/2,如此一來,對於一個奇數n來說,它在函數g下的迭代序列會是

  而我們已知,當n > 1時,(n+1)/2 總是小於n的。這也就是說,在函數g下,當一個軌道中出現了大於1的奇數n時,就總能在兩步之後得到一個更小的數(n+1)/2。

  如此一來,無論是n是奇數還是偶數,它在g函數中的迭代都會產生呈越來越小的趨勢發展的序列,唯一會打破這個規則的是在變小的過程中出現了1,當1一旦出現,便開始進入循環之中。

  那麼,為什麼同樣的方法就無法被來證明考拉茲猜想呢?

  如果n是偶數,那麼在函數f中,下一個數字n/2會變小。但當n為奇數時,會得到偶數3n+1,接著這個偶數再除以2,得到始終比n大的(3n+1)/2。這種情況在g的證明中是不存在的,對函數g來說,當一個奇數n出現時,兩步的迭代之後就能得到更小的數字;但對f來說,情況並非這樣。

  為什麼會出現這一問題?其實,問題出在(3n+1)/2的數值上,它既有可能是奇數,也有可能是偶數。

  如果(3n+1)/2是偶數,那麼下一個數字將是(3n+1)/4,序列會呈減小趨勢;但如果(3n+1)/2是奇數,那麼下一個數字將是3(3n+1)/2+1,序列會呈增加趨勢。因此,這一方法並不適用於證明考拉茲猜想。

  不過,以上這種方法也並非對數學家完全沒有啟發。從概率來看,(3n+1)/2有一半的概率是偶數,也就是說在下一步能得出小於n的(3n+1)/4的概率為50%,這也就意味著一個奇數在兩步迭代後會變小的概率是50%。接著,(3n+1)/4又有50%的概率是偶數,也就是說,一個奇數在經過三步迭代後,變成一個小於自身的一半的數的概率是25%……

  最終的結果是,平均來說,當函數f中出現一個奇數時,是會出現減小的趨勢的。再加上f函數在遇到偶數時總是會減小,因此從長遠來看,在函數f下的迭代所產生一定是趨於減小的序列。這種概率性的論證已被大多數數學家所接受,他們相信這一猜想是正確的,但仍然沒有人能發展出一個數學上的嚴格證明。

  對於這個問題,數學家們已經達成普遍的共識,那就是這是個不可能的問題。然而,好在仍有一眾優秀的數學家願意為這個可能是徒勞的問題付出努力,使得在我們這一問題上也並非全無進展。2019年,數學家取得了”最接近考拉茲猜想“的結果,而做出了這一工作的,就是著名的數學家陶哲軒。

  2019年9月,陶哲軒在博客上發表了一篇標題為《幾乎所有的考拉茲序列都得到了幾乎有界值》的文章,他用一種巧妙而隱晦的方式,讓考拉茲猜想幾乎得到瞭解決。“幾乎”的意思是,他證明了相對於已知能最終達到1的數字的數量來說,無法確定的數字數量可以忽略不計。

  在1976年,數學家Riho Terras證明了在反複應用考拉茲函數之後,幾乎所有的數字最終都比它們最開始時要小,他證明幾乎任何正整數n的考拉茲序列,最終都小於n。陶哲軒的工作對這一結果進行了進一步的限製,他證明了幾乎任何正整數n的考拉茲序列,最終都比n/2、√n、ln(n)更小。這也就是說,對於幾乎任何正整數,都可以確定它的考拉茲序列會儘可能的向更小的方向發展。

  雖然我們幾乎可以肯定,陶哲軒的方法無法完全證明考拉茲猜想,但這絕對是在沒有完全解決這個猜想的情況下,所能得到的最好結果,他取得了近幾十年來在這個問題上的最大進步。與此同時,這也是對想要繼續挑戰這個問題的數學家的一個警鍾:這個看似簡單的問題,真的太難了!

  參考來源:

  https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/

  https://plus.maths.org/content/os/latestnews/may-aug10/hailstones/index

  https://terrytao.wordpress.com/

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