田剛院士:數學內外的奧秘
2020年05月28日09:49

  來源:中國數學會

  作者:田剛

  5月10日,應中國數學會聯合中國工業與應用數學學會、中國運籌學會邀請,中國科學院院士、中國數學會理事長田剛以“數學內外”為主題,做了一場網絡科普,向公眾分享數學之美。

  講者 | 田 剛

  大家好!今天(5月10日)的講座是今年中國數學會主辦的第一個面向公眾的在線講座。今天是母親節,在此也向天下所有偉大的母親致以節日的祝福!我的母親也是一位數學家,她是我數學的第一位啟蒙老師,我講座的題目是“數學內外”,這個題目的靈感也是來自於我的母親。在很小的時候她告訴我,數學可以有很多角度去認識它。我們知道在數學專業研究領域之外的人,與進入到數學研究領域的人,所獲得的體會和感受是不一樣的。下面讓我們從各個不同的角度一起瞭解數學內外的奧秘。

  在我國古代,數學叫作算術,是六藝之一。六藝指六種技能:禮、樂、射、禦、書、數,其中的“數”就是指算術,也就是數學。六藝源自於中國周朝的貴族教育體系,周王官學要求學生掌握的六種基本才能。有點像我們今天高考一樣,即使是文科考生,也要考數學,學數學的也需考語文。

在我國古代,數學叫作算術
在我國古代,數學叫作算術

  大家知道古希臘是西方文明的源頭之一,是西方文明最重要和直接的淵源。西方有記載的文學、科技、藝術大都是從古代希臘開始的。當然古希臘不是一個國家的概念,而是一個地區的稱謂。數學在古希臘語有學習、學問、科學之意,被認為是 “學問的基礎”。

數學在古希臘語有學習、學問、科學之意
數學在古希臘語有學習、學問、科學之意

  古希臘數學家普洛克拉斯說:“哪裡有數學,哪裡就有美。”數字不僅可以展現美,它還可以量化世間萬物,讓事物變得更有趣。我國著名數學家華羅庚先生說過:“就數學本身而言,是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的…認為數學枯燥乏味的人,只是看到了數學的嚴謹性,而沒有體會出數學的內在美!” 數學美是自然美的客觀反映,是科學美(內在美)的核心,也體現在藝術等美中。

  比如,自然界中的花朵。大家春天都喜歡踏青賞花,在花朵上也能找到數學的影子。比如三角梅有3片花瓣,銀蓮花有5片花瓣。圖片上這朵向日葵,呈現出斐波那契數列,斐波那契數列是從第3項開始,每一項都等於前兩項之和。這朵向日葵有21個深藍色螺旋和13個寶石綠螺旋。13和21是斐波那契數列中的相鄰數字。彷彿花朵也有 “數學頭腦”。

向日葵花瓣呈現斐波那契數列的特徵
向日葵花瓣呈現斐波那契數列的特徵

  建築中也有數學。下圖是謝克洛弗拉清真寺房頂,建於17世紀的伊朗伊斯法韓,使用了雙螺旋圖案。它建於1602至1619年阿巴斯一世統治時期,建造工程曆時長達17年,用於獻給阿巴斯的嶽父Sheikh Lotfollah,這個清真寺也用嶽父的名字命名,Sheikh Lotfollah 是一位受人尊敬的黎巴嫩伊斯蘭教學者,應邀來到伊斯法罕監管國王的清真寺和神學院。從高高的窗格射進來的光線會隨著陽光的角度不斷變化,甚至穹頂上用到的白色瓷磚據說也會在一天里由白色變成粉紅,真是非常奇妙。另外,為了保證信徒朝拜的方向對著聖地麥加,設計清真寺時需要經過嚴密的數學計算。

建於17世紀的伊朗伊斯法韓謝科洛夫拉清真寺的房頂
建於17世紀的伊朗伊斯法韓謝科洛夫拉清真寺的房頂

  大家所熟知的畫家達芬奇,在他的畫中,也能看到大量的數學理念。當然達芬奇為大家所熟知的是他畫家的身份,其實他也精通生理解剖、建築、音樂、以及數學等等,被譽為是全才。著名的數學表達式斐波納契數列以及其中衍生的 “黃金分割” 定律,在達芬奇為數不多卻聞名於世的繪畫作品中反複運用,其中就包括《蒙娜麗莎》和《最後的晚餐》。

《蒙娜麗莎》中體現的黃金分割率
《蒙娜麗莎》中體現的黃金分割率
達芬奇《最後的晚餐》
達芬奇《最後的晚餐》

  這裏我們可以打個比方:數學是一座百花齊放的美麗花園,但它的周圍有牆擋著,外邊的人不能一下子就領略到它的美麗。如果只是站在門外看,只能看到它通過自然和藝術等表現的美。數學作為科學之母,它的抽像和嚴謹,也決定了需要有一些基礎和投入更多的理解力才能真正感受它更深刻、更美妙的魅力。

  下面讓我們從數字的起源和早期的一些情況開始探索數學內外的奧秘。

  據專家考證,數學起源於人類早期的生產活動,其基本概念的精煉就已出現在古埃及等的古代數學文本內。最早,人類採用實物記數的方法,如用小石頭、 樹枝等,後來變成在骨片上刻畫來計數。隨著生產力的發展,後來有了繩子,便出現了結繩計數。我國《易經》中提到了 “結繩計數”,在世界其他地方,如印加帝國、希臘、波斯、羅馬都有。

  公元前8000年左右,人們便開始用陶籌計數作為計數器,後來陶籌被沿用了5000年未曾間斷。舉個例子來說,當時的羊群所有者如何保證幫他放羊的牧羊人,在很長一段時間的放牧之後,羊群數目能對的上呢?當時的古人使用的是陶籌這樣的計數工具。陶籌計數簡單來說,就是雙方把陶籌包裹在空心泥球里保存,雙方在表面簽名,以證明其真實性,這樣即使是牧羊人放牧了很長一段時間後回來,羊群所有者和牧羊人對一下陶籌與羊群的數量即可,解決了信息不對稱的問題。後來人們在表面畫出內部樣子,就可在不破壞泥球的前提下,知曉內部數量。

陶鑄計數
陶鑄計數

  有考古學家認為陶籌與楔形文字的發明有重要關係。再後來隨著人們智力的發展和實踐活動的不斷磨練總結經驗,人們意識到不需要實際的陶籌,把籌碼數量畫在板上即可,就有了泥板。這裏要提到的一個古老的民族——蘇美爾人。蘇美爾人是於公元前5000年左右遷徙到西亞兩河流域南部地區居住的一支古老民族。蘇美爾人於公元前3000年就進入了文明時期, 創造了人類歷史上最早的一個古文明,公元 3400 到公元前 3000 年,蘇美爾人的烏魯克泥板上發現了第一個有記錄財務數據的文件。我們從下圖顯示的泥板中得知:一個叫辛庫的財務在37個月中收到29086單位的大麥。

蘇美爾人的烏魯克泥板
蘇美爾人的烏魯克泥板

  起初計數的符號取決於被計數的對象,羊與牛的符號是不一樣的。

  公元前3千紀初期,數字獲得了新的生命形式。為了表示10頭牛,人們可以不再畫10個牛頭,只需寫個數字10,旁邊畫一個牛頭。這一刻意味著,數字已經獨立存在。數字從具體物品中、從現實中抽離出來,產生了數的概念。這是人類一個最偉大的發明。起初是自然數,如1,2,3,4,5,6,7,8,9,… 這些數字我們稱為阿拉伯數字,實際上我們現在通用的這種數字書寫法是印度人發明的,大約在700年左右,阿拉伯學者在被征服的地區發現當地數學比他們的先進,於是接納了這套印度數字,阿拉伯世界隨後見證了數學的巨大發展,而當時的歐洲人卻對此視而不見,仍然使用較為費事的羅馬數字。數學家斐波那契是在西方推行印度阿拉伯數字的先行者,一直到13世紀印度阿拉伯計數法才慢慢在西方推廣開來,可見開放心態和慧眼識珠的重要性。之後由於實際應用和四則運算,就需要引進有理數,即兩個整數的比。古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯是有記載的第一個注重 “數” 的人,當時他發出感歎說:數是萬物之本。數字的抽像化,是一個極其重要的具有劃時代意義的節點。

畢達哥拉斯畫像
畢達哥拉斯畫像

  數的概念產生之後,數學逐漸形成獨立的學科。早期幾何學是關於長度、角度、面積和體積的經驗原理,用於滿足在測繪、建築、天文和工藝製作中的實際需要。幾何的英文 geometry,由詞根geo-(大地)加上metry(測量)組成,本意是 “測量大地”,最初的幾何學就是如何測量土地面積的學問。可以說最初的土地測量員就是 “最接地氣” 的 “數學家”。

  土地測量員等早期 “數學家” 要解決的主要問題包括:如何劃分土地面積?如何按照面積計算土地的價格?兩塊地哪塊更接近水源?水渠的修建應該遵守什麼樣的路線才能使距離最短?等等這些與生產生活緊密相關的問題。

  據說治水的大禹是我國最早的測量員之一。戰國時期水利家鄭國,他主持勘察測量、設計的鄭國渠是我國古代四大古渠之一。這其中還有一個有趣的故事,鄭國其實是韓國的間諜,他前往秦國遊說秦王修築水利工程,以起到拖累秦國的目的。但沒想到,水渠修築之後,秦國國力因此變得更加強大。雖然鄭國未能起到拖垮秦國的目的,但是作為一名卓越的水利專家,鄭國治理水患,改變了關中農業區的面貌,值得稱頌。這個故事也告訴我們:自強才是禦敵之本。

鄭國與鄭國渠圖示
鄭國與鄭國渠圖示

  下圖中展示了新石器時代的陶罐,上面有很多幾何紋飾,這些幾何紋飾來源於生產生活,反映了當時社會生活的各個方面,包括圖騰崇拜等,也有一種說法是這些陶罐反映了原始人的審美觀念已經從實用中分離出來。馬家窯文化因最早發現於甘肅省臨洮縣的馬家窯村而得名,年代約為公元前4200年至前3300年,也就是距今五千七百多年的新石器時代晚期。半山文化是馬家窯文化的晚期類型之一,因甘肅省廣河縣(一說是和政縣)半山遺址而得名。

新石器時代的陶罐
新石器時代的陶罐

  差不多同期,在公元前3000年,埃及人就有方形棱錐的錐台體積的正確公式。大家熟知的埃及金字塔就是對稱、比例精確的三角形。金字塔是由無數裁切準確的巨大石塊組成的帝王陵墓,當時的人們把金字塔有條不紊地安置在規矩的空間中,呈現出高度秩序。

埃及金字塔
埃及金字塔

  古巴比倫與中國、古埃及、古印度一併稱為 “四大文明古國”。圖片中所示的是古巴比倫伊什塔爾城門。這是德國考古學家在發現巴比倫古城時發掘,之後帶回了柏林的博物館。

德國佩加蒙博物館伊什塔爾城門
德國佩加蒙博物館伊什塔爾城門

  古巴比倫時期的數學很發達,計數法採用的是十進位和六十進位法。釘頭型代表1,尖頭型代表10,通過加法這兩個符號可以表示直到59,比如32由3個尖頭型和2個釘頭型構成。從60開始使用符號組,記錄60的符號也是由之前的符號構成,比如數字145由2個60構成120,再加25個單位。六十進位法應用於計算周天的度數和計時,至今為全世界所沿襲。在代數領域,古巴比倫人已經可解含有三個未知數的方程式。另外,古巴比倫人還有一個三角函數表。

古巴比倫計數法
古巴比倫計數法

  數學經過初期的發展後,不再局限於田間地頭、修築工程等與農業生產等息息相關的技術,而是逐漸形成了一門研究數量、結構、變化、空間等概念的學科。數學形成學科之後,越發突顯這樣的幾個特點:數學的指向是現象背後的客觀規律,它是抽像的,嚴密的邏輯是其基礎。數學追求的是抽像美和終極真理。它邏輯性強並以興趣和好奇心為首要驅動。數學非常純粹,它的正確與否不因人的意誌而改變。

  世界上比較早地用嚴密邏輯探討世界本源的發端之一是意大利半島的古希臘。柏拉圖學園門口掛著“不懂幾何者,不得入內。”當時的幾何,即是指數學。下圖是意大利著名畫家拉斐爾的《雅典學園》取材於公元前4世紀古希臘哲學家柏拉圖舉辦柏拉圖學園的故事,整幅畫洋溢著濃厚的學術氛圍。在畫中,兩位古代偉大的數學家被畫家安排在很顯著的位置。左邊方框中的中心人物是古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯,右邊是編撰《幾何原本》的古希臘數學家歐幾里得。

拉斐爾,《雅典學園》
拉斐爾,《雅典學園》

  歐幾里得生活於約公元前330年到公元前275年之間,被稱為 “幾何之父”,歐幾里得幾何學成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。在之後的2000多年間,這一嚴格的思維形式, 不僅用於數學,也用於其他科學,甚至用於神學、哲學和倫理學中,產生了深遠的影響。

  這裏我們要特別提到一位著名的女數學家希帕提婭。她出生在埃及亞曆山大里亞城,是世界上有記載的第一位女數學家。也另有說法,在希帕提婭之前其實也有不少女性從事數學研究,但她們的作品沒有流傳下來。希帕提婭的父親賽翁(Theon)是有名的數學家和天文學家,希帕提婭協助父親完成幾何原本的現在版本,這位聰慧的女性以她的才華和貢獻躋身於古代世界最優秀的學者之列。公元415年她慘死於暴徒手下。希帕提婭雖去世一千五百多年了,但她的科學精神鼓舞了一代又一代的青年人,尤其是女士們從事數學研究。今天女數學家的比例越來越高,如在世界一流大學工作的華裔女數學家就有許多。

古希臘著名數學家、哲學家希帕提婭
古希臘著名數學家、哲學家希帕提婭

  文獻中普遍認為:歐幾里得是在公元前300年左右完成了《幾何原本》一書。全書分13卷。有5條 “公理” 或 “公設”、23個定義和467個命題。歐幾里得由公理,公設和定義出發,嚴格推導出命題。他嚴格論證了畢達哥拉斯定理,即 “勾股定理”,從而確定了勾股定理的正確性。

  遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理,還知道許多勾股數組。古埃及人也應用過勾股定理。在中國,西周早期的商高提出了 “勾三股四弦五” 的勾股定理的特例。勾股定理等價於證明:在一直角三角形中,斜邊上的正方形的面積等於兩條直角邊上的兩個正方形的面積之和。

  趙爽是我國數學家,他是東漢末至三國時代吳國人。趙爽為《周髀算經》作注時,解釋了《周髀算經》中勾股定理,並給出了證明:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。” 2002年國際數學家大會會標的靈感就來源於此,這個標誌現在也是中國數學會的標誌。

趙爽弦圖
趙爽弦圖

  古希臘數學家泰阿泰德發現只存在5種正多面體,不存在第6種。這一結果的證明最早也是出現在歐幾里得的《幾何原本》中。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數學的宇宙觀。他設想宇宙開頭有兩種直角三角形,一種是正方形的一半,另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就合理地產生出四種正多面體,組成四種元素。火是正四面體,氣是正八面體,水是正二十面體,土是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體,這是組成天上物質的第五種元素,叫做以太。5種正多面體被稱為 “柏拉圖立體”。可見被授予光環的也不一定是原本的發現者。

5種正多面體
5種正多面體

  仔細觀察,城市中很多球形建築上都有12個特殊的點,比如位於北京奧森公園附近的中國科技館,這些球形建築上的12個特殊點每個點由5個三角形組成,這是多面體幾何性質約束的結果。大家有興趣可以去現場找找這12個特殊點。其實,在兩千多年前古希臘數學家已經發現了這一特點。

中國科技館
中國科技館

  大型球狀建築物,類似於將正二十面體每個三角形切分成4個三角形,然後將每一個新的三角形再同樣切分,依次切分下去,得到若干小三角形側面,將它們“吹鼓”起來變成類球體形狀。之前提到的中國科技館球狀建築就是這樣,由成千上萬塊小三角形拚成,球體表面的12個特殊的點就是原本正二十面體的12個頂點。在生活中,我們還可以看到類似的物品,比如足球其實是截去頂點並稍加吹鼓起來的正二十面體。

  歐幾里得《幾何原本》中還有關於數論的結果:有無窮多個素數。素數是只能被1和自己整除的正整數, 如2,3,5,7,11,13…… 任何整數都可以分解成素數的乘積,所以素數被認為是數的 “原子”。數論是數學的核心分支之一,研究素數是一個重要部分,許多著名猜想都與素數有關,如被譽為 “皇冠上的明珠” 的哥德巴赫猜想:任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和。至今最好的結果是1966年陳景潤先生證明的。還有有關黎曼ζ函數的零點分佈著名的黎曼猜想。素數理論被用於信息安全技術,有無窮多個素數是現代信息安全技術的基礎。

  素數不僅有無窮多個,我們還能描述它的分佈,素數定理就是其中一個描述。素數定理(Prime Number Theorem)敘述如下:

  設x≥1,以π(x)表示不超過x的素數的個數,則當x趨於無窮時,π(x)~x/ln(x)。

  1896年,阿達馬和德·拉·瓦萊布桑(Charles-Jean de la Vallée Poussin)各自獨立地證明了素數定理。1949年,塞爾伯格和埃爾德什(Paul Erdős)分別獨立地給出了素數定理的完全“初等”的證明,這是塞爾伯格獲得菲爾茨獎的一個重要工作。由素數定理,我們可以估計素數的個數,如果x是1億,素數有300多萬個。如果x是100億,素數有3億多個。我們還可求π(x)的漸進展開公式,第二個本質項的冪次大小與黎曼猜想緊密相關。

  素數理論在荷李活電影中也出現。獲奧斯卡獎的荷李活科幻電影《超時空接觸》中就有素數理論的應用。女主人公利用素數的數學理論破譯了來自外太空的密碼,這些密碼是生產時空機器的圖紙和說明。時空機器製造出來後,女主人公成為人類首位與外星生命接觸的使者,飛越宇宙,與外太空的生命進行理智的接觸。

荷李活科幻電影《超時空接觸》海報
荷李活科幻電影《超時空接觸》海報

  數學結論最基本的要求是 “正確”,無論多麼顯然的結論,都需要從已知的確定結論通過正確的推理得出。這成為數學最顯著的特徵。幾何原本提出五大公設,其中第五公設相比前四個公設不那麼顯而易見。那麼,第五公設能否作為公設,而作為定理?循著這條路線望去,這就是最著名的、爭論了長達兩千多年的關於 “平行線理論” 的討論。由此產生了很多意想不到的、具有重要價值和意義的研究成果。

  在1830年左右,俄國羅巴切夫斯基,匈牙利雅諾什發現了第五公設不可證明,創立了非歐幾何學。雅諾什在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭社會的冷漠對待,他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什勸他放棄。高斯也發現第五公設不能證明,並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到教會力量的打擊,不敢公開發表。可見探索真理的道路並不是一帆風順的,是非常艱苦的,需要持之以恒的努力和堅定的信念。

  雙曲幾何中有四種常用模型,龐加萊圓盤模型是其中一種,如下圖所示,有無窮多條線通過一個給定的點且平行於一條給定的線。

龐加萊圓盤
龐加萊圓盤

  著名數學家黎曼1851年創立黎曼幾何,引進了流形和度量的概念,證明曲率是度量的唯一內涵不變量,具有劃時代的意義。從歐幾里得的第五條公設引發的關注和思考,產生了非歐幾何諸多重要的研究方向,這些研究都並是不以“有用”作為研究原點的,但是最終證明是非常有價值的。1915年,愛因斯坦創立了新的引力理論——廣義相對論,黎曼幾何成為其重要工具。

黎曼像
黎曼像

  數學研究的最初目的往往不是為了功利,最後卻獲得特別的效果和重要的應用。數學是不以 “有用” 為研究的原點,也就是說數學本身是非常純粹的。好的數學並不是僅僅屈從於某個具體的目的,但是一旦取得了數學中思維的突破,實際上它卻又是極為 “有用” 的。所以我一直都認為數學是不以 “有用” 為研究的原點,實際上卻又是極為有用的學科,事實上,數學無處不在。下面我們一起具體來看。

  數學的簡潔性是人類思想表達經濟化要求的反映,它同樣給人以美感,給人很純粹的感覺。愛因斯坦說過:“美在本質上終究是簡單性。”比如歐拉公式,無法說清楚有多少凸多面體,但它們都必須服從歐拉公式,且由此可推出只存在5種正多面體。

  多面體的歐拉公式實際是歐拉示性數的特別情形,這是一個拓樸不變量。上世紀40-60年代,示性數理論得到進一步發展, 引進了陳數、龐特里亞金數,證明了 Gauss-Bonnet-Chern 定理,指標定理。這些新理論與物理中規範場論有緊密聯繫。在凝聚態物理中, 量子霍爾效應的拓撲序可用示性數描述。

Gauss-Bonnet-Chern定理
Gauss-Bonnet-Chern定理

  2016年諾貝爾物理學獎頒發給三位從事拓撲相變和拓撲物質形態研究的學者。拓撲是幾何學發展而衍生的一個核心數學領域,研究幾何體在連續形變中所不改變的性質。拓撲物質形態用拓撲示性數,比如 “陳數”,來刻畫新的物質形態。拓撲相還存在於三維材料中。這些拓撲材料有望在新一代電子器件和超導體中產生應用,以及在未來量子計算機方面有應用。

  對稱性是數學美的一個基本內容。中國的建築就很好的應用了數學的對稱美,比如故宮在北京中軸線中心上,彰顯著皇權的至高無上。走進皇城每件東西也都很講究對稱。橫九路、豎九路,共是九九八十一個。對於我們中國人而言,九,是陽數之極,象徵帝王最高的地位。甚至連圍牆,都被精心計算好了角度。天壇也是這樣,有很多對稱的元素。

天壇包含了對稱性元素
天壇包含了對稱性元素

  用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進行拚接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的密鋪。除正三角形、正四邊形和正六邊形外,其他正多邊形,如正五邊形,都不可以密鋪平面。但有的五邊形可以密鋪平面,下圖列出了15種早已熟知的五邊形密鋪。第16種可密鋪五邊形是2015年由美國數學家發現的。

  密鋪在建築中也常見到。西班牙格拉納達紅宮是伊斯蘭世界在西班牙留下的輝煌古蹟。阿拉伯的工匠們在幾何圖案的設計中展現出了令人歎為觀止的創造力。大家可以看到,紅宮的建築紋飾是各種幾何圖形的對稱、旋轉、平移。目前存在只存在17種類型的幾何密鋪,我們在紅宮都可以找到。

西班牙格拉納達紅宮及其部分建築文飾
西班牙格拉納達紅宮及其部分建築文飾

  數學的深刻性是毋庸置疑的,數學中最漂亮的部分常聯繫著不同的分支,揭示特定的本質。比如勾股定理告訴我們:a2 + b2 = c2 有很多整數解。

  著名的費馬大定理就是記錄在 Arithmetica 的1621年版的書中:如果n > 2, 則 an + bn = cn 沒有非零整數解。費馬聲稱自己有一個 “絕妙的證法”,當然他沒有寫下來。

  費馬猜想的證明有很長的歷史,期間經曆了幾次重大突破,這個問題最終在1994年被懷爾斯證明,他也因此拿到了為他特別製作的菲爾茲銀質獎章。懷爾斯的證明用到了大量現代的數學工具和技巧,他的證明揭示了橢圓曲線和數論之間的深刻聯繫。

英國著名數學家、牛津大學教授Andrew Wiles
英國著名數學家、牛津大學教授Andrew Wiles

  費馬大定理的證明正是基於橢圓曲線的理論。近年來,利用橢圓曲線的密碼系統越來越受到重視。橢圓曲線在密碼學中的使用是在1985年由 N。 Koblitz 和 V。 Miller 分別獨立提出的。實際上,密碼學已經廣泛應用在我們日常生活中,如銀行密碼、電子商務等。它使用了大量的數學工具。在電子商務中,經典的RSA算法被廣泛使用。RSA算法是由MIT研究人員 Rivest,Shamir 和 Adleman 在1978年公開推廣的,其基本原理是因為素數分解的困難。而橢圓曲線密碼的安全性遠高於用素數分解的RSA算法。

  橢圓曲線就是三次代數曲線,即複平面上三次代數多項式的零點集,如y^2=x^3 +1,y^2=5 x^3–7 等。研究一般多項式零點集的幾何稱為代數幾何。

  數學的統一性可表現為數學概念、規律、方法的統一, 數學理論的統一,數學和其他科學的統一。1904年,著名法國數學家亨利·龐加萊(1854-1912年)提出了一個拓撲學的猜想:“任何一個單連通的,閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。” 一個閉的三維流形就是一個有界無邊的三維空間;單連通指這個空間中每條閉曲線都可以連續的收縮成一點。因此龐加萊猜想可以通俗的說成:任何一個滿足這樣性質的三維空間,它 “本質上” 是一個三維的球。這個猜想可以被推廣到三維以上空間,被稱為 “高維龐加萊猜想”。

法國郵票上的龐加萊像
法國郵票上的龐加萊像

  多年來,每一次龐加萊猜想的突破都是數學界的大事情。1961年S。 Smale 證明了龐加萊猜想的五維空間和五維以上的情形,立即引起轟動。斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。1982年,M。 Freedman 證明了四維空間中的龐加萊猜想,並因此獲得1986年菲爾茨獎。很多人用拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展,有人開始想到了其他的工具。W。 Thurston 就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割,提出了幾何化猜想並解決了一個重要情形。W。 Thurston 獲得了1982年的菲爾茨獎。龐加萊猜想是幾何化猜想的一個特別情形,但W。 Thurston 解決的情形不包括龐加萊猜想情形。

  千百年來,數學家們在拓展人類思維邊界的道路上,不懈努力,取得了眾多的傑出成果。但是還有很多懸而未解的重大問題,有待有誌者去解決。比如,2000年著名的克雷數學研究所將龐加萊猜想等七個重要數學問題列為“七大千禧年難題”,即:NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯理論、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。破解每個難題都可獲得100萬美元的獎勵,這七大數學難題被認為是“對數學發展具有中心意義、數學家們夢寐以求而期待解決的重大難題”。

  傳奇數學家 Perelman 在花了8年多時間研究龐加萊猜想這個足有一個世紀的數學難題後,在2002年11月和2003年7月之間,將3份關鍵論文的手稿上傳到 arXiv.org 這個專門刊登數學等學科的預印本論文的網站上,並用電郵通知了幾位數學家,聲稱自己證明了幾何化猜想。後來,Perelman 理所當然地得了菲爾茲獎,但是他沒有去領獎。Perelman 的數學才華和特立獨行,大家在網上都能查到一些描述,在這裏就不再贅述。

傳奇數學家Perelman
傳奇數學家Perelman

  Perelman 的證明中使用了 R。 Hamilton 引進的Ricci流,它是一組微分方程。他通過完成一系列的拓撲手術,構造奇點可控的幾何解,從而解決了幾何化猜想以及三維的龐加萊猜想。這是用幾何分析技巧理解拓撲問題的典範。

Ricci Flow
Ricci Flow

  不僅數學不同分支之間有深刻的聯繫。數學和物理更是一直相互啟發,相互推動,一同發展。愛因斯坦方程在廣義相對論中,宇宙一切物質的運動都可以用幾何學中的曲率來描述,引力場實際上就是一個彎曲的時空。

  計數幾何是代數幾何的一個重要分支,研究幾何方程的解的個數。它有非常悠久的歷史。近三十年來,計數幾何與物理的拓樸場理論研究相互影響,促進了兩個學科的高度發展。它的研究更加系統化,與數學其他分支,如表示論、微分方程等緊密相連。量子同調環就是一例。1993年,受物理中場論研究的啟發,我和阮勇斌首次建立它的數學理論,解決了一類經典的計數幾何問題。

  數學在經濟學、生物學等學科的發展中也起到非常重要的作用。很多諾貝爾經濟學獎得主都是學數學出身的,大家熟悉的約翰·納什就是數學家,也是奧斯卡電影獎《美麗心靈》的主人公原型。約翰·納什也是普林斯頓大學教授,我之前在普林斯頓工作,在校園里時常見到他。納什不僅獲得諾貝爾經濟學獎,他還獲得阿貝爾獎。阿貝爾大獎是數學界的重大獎項,為了紀念挪威著名數學家阿貝爾二百週年誕辰而設立的,據說設立此獎的一個原因也是因為諾貝爾獎沒有數學獎項,阿貝爾獎獎金的數額大致同諾貝爾獎相近。

約翰·納什
約翰·納什

  此外,1997年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·莫頓,他也是數學家。2005年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·奧曼的最高學曆是麻省理工的數學博士。2012年諾貝爾經濟學獎頒發給哈佛大學教授羅斯和加州大學的沙普利,他們倆本科和博士都讀的是數學專業。

  數學在醫學上也無處不在,如利用概率和統計來驗證新藥或程式的有效性,或估計接受某些治療的癌症患者的存活率。現在我們在醫院中常見的CT成像技術的數學基礎是Radon變換。

CT成像技術
CT成像技術

  純數學在遺傳學的一個重要的應用是 “哈代定律”。哈代是著名數學家,他曾經說過:我從未做過任何有用的事情,我的發明不會直接或間接的對改變世界作出任何貢獻。有趣的是,1908年哈代的工作在遺傳學方面得到了應用,並且有一個以他的名字命名的哈代定律,被稱為人口遺傳學的科學基礎。1854年英國醫生 John Snow 通過繪製英國倫敦的霍亂地圖及利用統計方法,發現了病毒來自於被汙染的水泵。近年來,研究者們綜合利用統計模型,基於多源信息對傳染病的流行規律進行更加精確地建模分析。此次新型冠狀病毒疫情中,國內外研究團隊大多數都是以動力學模型為基礎,給出疫情發展趨勢的分析和預測。中國數學會已向國家提交多篇有關論文和報告。

  近年來,人工智能、大數據興起,成為受人矚目的研究領域,北京大學還設置了數據科學專業。人工智能、大數據其實也是與數學密不可分的。有觀點認為,AI人工智能科技的本質就是數學。而大數據,本質上就是海量數據的彙集,數學提供了研究基礎和工具。

  可見,數學有極大的價值和用處。歷史的經驗告訴我們,數學研究在發達國家的科學戰略中始終居於最重要的地位。我們的國家要實現可持續發展必須有原創性的科學研究以及原創性的數學研究!

  數學等基礎學科已經得到國家重視,2018年國務院印發《關於全面加強基礎科學研究的若干意見》,以進一步加強基礎科學研究、大幅提升原始創新能力,夯實建設創新型國家和世界科技強國的基礎。

  為了落實《關於全面加強基礎科學研究的若干意見》要求,切實加強我國數學科學研究,2019年7月12日,科技部、教育部等四部委聯合印發《關於加強數學科學研究工作方案》。工作方案指出:數學實力往往影響著國家實力,幾乎所有的重大發現都與數學的發展與進步相關,數學已成為航空航天、國防安全等領域不可或缺的重要支撐。

  最後我引用四川大學羅懋康教授寫的一副對聯,表明我們數學家也不乏有深厚的文學和藝術修養。這副對聯是:天道幾何 萬品流形先自守。變分無限 孤心測度有同倫。從漢語字義和數學角度去理解都充滿了深刻的含義。在短短22字中,有幾何、流形、變分、無限等七個數學概念。這副對聯的意思是:不管客觀世界的規律如何,萬事萬物都早已按照這些規律發展演化。客觀世界的變化是無窮無盡的,總有一心追尋科學真理的同路人。數學充滿著無窮的魅力,深深吸引著一代又一代有誌之士不斷探索、攀登。希望有更多優秀人才加入到數學研究的行列。

  謝謝大家!

位於北京大學全齋北門的數學對聯
位於北京大學全齋北門的數學對聯

  Q&A

  問:為什麼我國中學生在世界數學奧林匹克競賽中屢獲佳績(30多年),而至今無人獲得菲爾茲獎呢?

  答:奧數競賽跟做數學研究完全是兩回事。競賽是在指定時間內解出一道給定的題目,而做研究需要自己去開發問題,對時間要求沒有那麼嚴格。從實際情況來說,我們培養一個數學人才,最重要的還是看其是否確實對數學有興趣。很多參與數學競賽的學生後來都不做數學了,就是因為他們對於數學並沒有興趣或是興趣沒有那麼大。我們現在有些年輕數學家確實做出了非常突出的工作成果,至少是有可能得獎的,但是否近幾年內就能拿到,這很難說。就像是張偉、惲之瑋、許晨陽、還有朱歆文都做出了相當好的工作。我也知道我們現在有一些年輕人也是積極努力朝這個方向走,獲獎就是一個時間早晚的問題。 獲獎與否也取決於很多因素,評審委員會也是來自各個國家,候選人的工作成果也需得到國際學術界的瞭解和認可。我們會為年輕學者創造更好的條件,鼓勵他們做大問題,參加一些重要的學術交流,爭取更多的國際認可。當然,比起得獎,對數學發展來說更重要的還是產生一些對人類的發展起到關鍵推動作用的工作。

  問:接觸一個相對新的數學領域,尤其是對於新人,有什麼好的建議嗎?是讀一本這個領域的著作,還是讀幾篇或者十幾篇高質量的論文?如何效率高一些?

  答: 打好基礎對學習新領域是非常重要的,開始的時候可以先讀一些相關領域的書籍瞭解基本概念,這個是必要的。再根據興趣讀一些論文,當然論文不像書籍那樣一層一層的條理非常清楚,論文思維上可能會有一些跳躍,讀起來有難度,初學的人不要感到很為難,不強求讀得多,根據個人興趣和情況,可先挑選一些重要的文章閱讀。可以通過設法推廣延伸,深入理解論文的結果和方法,多思考,努力解決一些問題,做研究一定要有耐心,不必太過擔心效率。

  問:怎麼樣讓中國數學從小學開始培養,小學生如何建立數學思維,家長在家庭生活中如何有效引導孩子(當然不僅僅是學習書本)?

  答:(笑)這個問題可能是家長提的。剛才我在報告中也介紹了,其實數學離我們日常生活並不遙遠,數學無處不在,在自然界中有數學,在日常生活中到處都能找到數學的影子。在家庭教育中,孩子的數學思維培養可以從生活的小事著手。比如孩子很小的時候讓他對應著實物數數,建立起數字的概念。比較大小、長短、高矮等等,在孩子腦海中建立抽像概念。另外,平時也可以與孩子玩一些有趣數學的遊戲。我的母親也是數學家,我記得在我小時候,那時候物質條件遠不如現在,我母親就和我玩稱球遊戲,給定球的數量和限定稱的次數,找出壞球。通過寓教於樂,孩子不會覺得枯燥,培養了孩子的好奇心和求知慾,幫助他們建立起邏輯推理的能力。現在有很多學習機會,如科普書籍和網課,可以有針對性地選擇一些數學啟蒙書籍對於建立數學思維也是很有幫助的,比如我母親在我小時候就引導我讀幾何原本,那個時候我對數學產生了濃厚的興趣。

  問:來自遼寧-營口的網友:您認為目前中國基礎教育的數學發展中的優勢在哪裡?還有哪些有待進一步深入推進的方向呢?

  答:這十幾年來,中國數學有了非常好的發展,尤其從國家的各大人才計劃實行以來,引進和培養了一批非常優秀的年輕人,對數學的隊伍建設起了非常好的作用。隨著國家的經濟條件變好,高等教育水平的提高與學校人才培養質量的提升,以及現在國家對數學的重視,年輕人學數學的熱情和興趣也提高了,人才後備軍還是很不錯的。這幾年我們確實培養了一些相當好的年輕人。整體來看的話,中國數學的發展趨勢還是非常好的。

  但在一定程度上,如果在三四十歲以下的年輕人中間比較,中國的數學人才和美國或是整個歐洲還是有一定差距,但是要是和歐洲某個國家相比,我們還是有一定優勢的,因為確實有一批優秀的年輕人,而且中國人也多。和美國相比的話,美國的優秀人才的來源更豐富也更多元,因為它把全世界優秀的人都吸引過去了,而我們目前主要的人才來源還是集中在華人或者是歸國的人才,還有靠自己培養的一部分人才。

  我對於以後的發展還是充滿信心,主要是我們的隊伍比較好,當然可能還需要一些時間讓外人來瞭解我們所做的工作,再通過一定的努力可以吸引到一些國外的好的學生或是博士來中國學習、工作,以擴大我們的國際影響。當然,一所大學或者科研機構是否真的達到世界一流,其中一個重要的標準是看世界各地的年輕人是否願意來這裏學習。對於博士或是博士後來說,他們不會只考慮待遇的問題,他們更看重在這裏的經曆對他們以後的發展有沒有幫助。在這個方面上,我們的條件也是越來越好了,有一定的競爭力,但是還是需要繼續努力。

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