一場數學中的生命遊戲,一位數學怪才的遊戲人生
2020年04月17日09:29

  來源:公眾號“原理”(ID:principia1687)

  如果有一個史上最短論文的榜單,那麼下面這篇數學論文一定榜上有名:

  論文的作者只用了兩個詞和兩副圖,便完成了證明所需的所有論證。

  這篇論文提交於2005年,當《美國數學月刊》的編輯收到它時,也被它的簡短所驚訝,並立馬向論文作者提出能否多加一些解釋的要求。但在作者的極力說服之下,這篇論文最終以這種簡潔而特殊的形式發表了。

  論文的第一作者是英國數學家約翰·霍頓·康威(John Horton Conway)。有人說,康威可能是世界上最可愛的自大狂;也有人說,他是阿基米德、理查德·費曼、米克·賈格爾(The Rolling Stones主唱)和薩爾瓦多·達利(超現實主義藝術家)的結合體。他是當代最偉大的數學家之一,他有著搞怪的幽默感和旺盛的好奇心,以及向每個人解釋一切的衝動。數學家邁克爾·阿蒂亞曾說:“康威是世界上最神奇的數學家。”

  這位天才數學家曾在很長一段時間里曾為自己的職業生涯擔憂,他怕自己的數學天賦會被他對一些蠢遊戲的熱愛而毀掉,直到後來他意識到這些癡迷可以帶來非凡的發現。在漫長的職業生涯中,他在群論、數論、代數、幾何拓撲、理論物理、組合博弈論和幾何等領域,都做出了重大貢獻。

  然而就上個週末,傳來了關於這位最有趣的數學家的噩耗:4月11日,康威因COVID-19逝世,享年82歲。

約翰·霍頓·康威(1937 - 2020)。圖片來源:Thane Plambeck
約翰·霍頓·康威(1937 - 2020)。圖片來源:Thane Plambeck

  1937年12月26日,康威出生於利物浦。從小他就對數學表現出明顯的興趣,這一點與多數不凡的數學家或科學家雷同。的確,據他母親回憶,康威從4歲時就可以背誦不同數字的二次方,11歲時就明確了想要成為一名數學家的決心。

  1956年9月,頂著一頭淩亂頭髮的清瘦少年帶著一隻箱子離開了家,他乘著蒸汽火車從利物浦南下前往劍橋——那是他夢寐以求的求學之地,也是他的數學生涯真正開始的地方。對康威來說,劍橋大學的學習生涯改變了他的整個人生。這是因為從他南下的那一刻起,他突然決定要變成一個不一樣的人。

  其實,風趣幽默的康威在年幼時曾是個柔弱敏感的孩子。中學時期的康威常因為自己內向的個性而被人打趣,這讓他很痛苦。在前往劍橋的路上,他意識到過去那些在他身邊取笑他的人都不會出現在他的大學生活里,這意味著,他或許可以重新開始,把自己變成一個自己更加嚮往的人:他變得外放,變得活躍,變得風趣,變得開始懂得自嘲。他曾回憶說,是那時的決定讓他成為了我們後來所看到的康威。

康威的卡通形象。| 圖片來源:Simon J Fraser
康威的卡通形象。| 圖片來源:Simon J Fraser

  1964年,康威在劍橋完成了博士論文,之後繼續留在劍橋任教。作為講師,活躍的思維,活潑且接地氣的教學風格,讓他深受學生喜愛。他經常用生活中常見的事物,比如貓貓狗狗、汽車火車等物件探討抽像的數學概念。比如當講到對稱性和正多面體時,他會帶著一根蘿蔔和一把菜刀來到課堂上,然後一刀一刀的把蘿蔔切成正多面體,還邊切邊吃。

  然而在學術方面,可以說康威在1968年之前基本上沒有完成過什麼工作。他把大把時間都用在了玩遊戲,發明小遊戲,或者改寫那些他認為無聊的遊戲的規則上。大部分時候,他玩的那些遊戲都有點幼稚,比如點格棋、狐入鵝群等等,他還經常跟小孩子一起玩。從表面看來,好像他每天都玩得很開心,但其實他的內心無比焦慮,他擔心自己配不上這個職位,害怕自己的數學靈魂正在枯萎。

  作為一名珍愛自己數學天賦的數學家,康威的擔憂是可以理解的。但幸好事實顯然並非如此,回看康威一生對數學作出的數不清的貢獻中,遊戲在其中佔據了很大的比重。其中最著名的一個遊戲,就是在20世紀60年代末發明的生命遊戲(Conway’s Game of Life)。

生命遊戲。| 圖片來源:康奈爾大學
生命遊戲。| 圖片來源:康奈爾大學

  這是一種模擬自然界的生命演化的遊戲,它是最早的一個細胞自動機。在這個遊戲中,細胞自動機是一個由不同組的細胞構成的小機器,不同組的細胞會在離散的時間(比如一秒一秒地)上迭代演化。這些細胞會隨著時間一秒一秒地推移而發生形變,演變成其他東西。

  生命遊戲的規則並不複雜,它需要在網格上進行,比如在一個棋盤上。在這個遊戲中,細胞可以有兩種狀態:“生”和“死”,我們可以用黑和白兩種顏色來分別代表生和死。一個方格所代表的細胞周圍有8個相鄰的方格,它的規則是:

如果一個死亡細胞在當前時間 t 擁有3個相鄰的細胞是活的,那麼在時間 t+1,它就會變成活細胞;

如果一個活細胞在當前時間 t 只有0個或1個相鄰的細胞是活的,那麼在時間 t+1 它就會因“孤獨”而死;

如果一個活細胞在當前時間 t 有4個或4個以上的相鄰細胞是活的,那麼在時間 t+1 它就會因“擁擠”而死。

如果一個活細胞在當前時間 t 有2個或3個相鄰的細胞是活的,那麼在時間 t+1 它仍然是活的。

康威的生命遊戲規則。圖片參考來源:康奈爾大學
康威的生命遊戲規則。圖片參考來源:康奈爾大學

  嚴格說來,生命遊戲並不是一個真正的遊戲,康威稱這是一款“沒有玩家的永無止境”的遊戲。而這個遊戲帶來的最大啟示,或許就是它顯示了,當像生命遊戲中的細胞這樣的簡單東西,在遵循了幾條基本的遊戲規則之後,可以隨著時間的推移演化出高度複雜的特徵。在電視節目《史蒂芬。霍金之大設計》就提到,甚至智力也可以這樣衍生出來,只是它可能需要一個由數十億、數百億個方格組成的網格。

1974年,康威在玩生命遊戲。| 圖片來源:Kelvin Brodie / The Sun News Syndication
1974年,康威在玩生命遊戲。| 圖片來源:Kelvin Brodie / The Sun News Syndication

  康威發明過許許多多的遊戲,其中很多都被記錄在了他與埃爾溫·伯利坎普(Elwyn Berlekamp)以及理查德·蓋伊(Richard Guy)一同合著的書籍《穩操勝券》(Winning Ways for Your Mathematical Plays)中,這本著作記錄著康威對組合博弈論的貢獻。

  雖然他會因為那看似不務正業的興趣愛好而稱自己淺薄,但沒人能否認他在數學的眾多領域都作出了廣泛而深遠的貢獻。

  上世紀70和80年代是康威的高產時期。幾何學是他的第一個嚴肅愛好,他完全沉浸在了對稱的海洋中。他發現了三個零散單群,其中最大的被稱為康威群,它是一個24維的對稱群,與在24維空間中堆積球(sphere packing)有關。在這樣一個空間中,每個球與196560個球相接。

康威的關於球堆積問題的草稿。圖片來源:John Conway
康威的關於球堆積問題的草稿。圖片來源:John Conway

  此外,他還研究了所有零散單群中最大的被稱為大魔群的群。在他和西蒙·諾頓(Simon Norton)的一篇題為《魔群月光》的論文中,就描述了一個有著196883維的大魔群。我們可以將大魔群想像成一片奇怪的雪花,在196883維的空間里,這片雪花有超過1050個對稱性。它包含這些元素:2⁴⁶×3²⁰×5⁹×7⁶×11²×13³×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8×10⁵³,這個數字比太陽中的夸克數還大。儘管它如此龐大,但它是一個單群,也就是說它除了單位元和它自身之外,它沒有任何正規子群。

  他對多維幾何有著超凡的理解,1985年,他與數學家尼爾·斯隆(Neil Sloane)還在繼續研究多維度的球堆積問題。那一年,美國的一個專利”多維碼的解碼技術“就將他們的球堆積研究應用到了編碼理論中。1988年,他與斯隆合著了《球堆積、晶格與群》一書。

  而在眾多成就中,他最為之驕傲的是他在1969年發明的一類新型的數字,這些數字現在被稱為“超現實數”。超現實數是那些不僅包含了實數,還包括無窮大和無窮小的數字的連續統。

  超現實數通常用符號{a|b}來表示,{|} = 0,而{0| } = 1是大於0的最簡單的數字,{1| } = 2是大於1的最簡單數字,以此類推。類似地,{ |0} = -1是小於0的最簡單的數,以此類推。與此同時,2也可以被表示成 {1|3}、{3/2|4}等。最為神奇的是,康威是通過玩遊戲和分析遊戲發現的這些奇怪數字——他能從遊戲中看到隱藏在其中的數字。他說他唯一的遺憾是還沒能看到超現實數的應用。然而數學家普遍認為,找到超現實數的應用只是時間問題。有人認為,或許有一天,這些奇怪的數字能解釋從宇宙的無限大到量子的無限小之間的一切。

  從1957年來到劍橋開始,康威在這這個地方停留了30年的時間。1987年,他前往大洋彼岸,成為了普林斯頓大學的數學教授,在那裡,他被委以教學重任,直至退休。2004年,康威和普林斯頓的西蒙·寇辰(Simon Kochen)從量子力學的Kochen-Specker無隱變量原理出發,證明了自由意誌定理。它指出,如果一個實驗者可以自由選擇在一個特定的實驗中測量什麼,那麼基本粒子也可以自由地選擇它們的自旋,以使測量符合物理定律。

2009年康威在普林斯頓大學。圖片來源:Denise Applewhite / Princeton University
2009年康威在普林斯頓大學。圖片來源:Denise Applewhite / Princeton University

  這些成就讓他收穫了大大小小無數的獎項和榮譽。比如其中就有他後來常津津樂道的在領取倫敦皇家學會會員榮譽時的故事:1981年,康威被皇家學會授予會員資格,在簽署入選皇家學會會員之書的儀式上,他看到了書的前幾頁上寫著艾薩克·牛頓、阿爾伯特·愛因斯坦、艾倫·圖靈和伯特蘭·羅素這些赫赫有名的名字,這讓他頗感得意。

  在康威獲得的眾多獎項中,有數學中的諾貝爾獎之稱的阿貝爾獎卻不是其中之一。曾有消息說,他已被阿貝爾獎提名,並且最有可能因為在群論方面的工作而獲獎。但這終究無法成為現實了。一場從2019年就給無數人帶來傷痛的病毒大流行,在4月11日那天,帶走了這位風趣、搞怪、才華橫溢的數學家。

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