一粒一粒剝石榴太麻煩?你一定還不知道這個數學原理
2020年03月26日11:22

原標題:一粒一粒剝石榴太麻煩?你一定還不知道這個數學原理

作者 | Helen

編輯 | 羅數君

文 2367字 閱讀時間約 6分鍾

導語

相信很多人都被剝石榴深深困擾著,石榴好吃,但剝起來好難!每次搞得滿手都是石榴汁,還吃不到幾顆。怎麼才能輕鬆吃到石榴?在這篇關於分形幾何學的文章里,你一定能發現剝石榴的奧秘!

神奇的分形幾何

我記得初中的時候很流行一本書,叫《天才在左瘋子在右》。書裡面有一章講到了一個精神分裂以後又痊癒的生物學家,他當時正在研究分形幾何學。

書里這樣寫道:

“簡單的舉例:比如說隨便找一棵樹,仔細看一下某枝樹杈,你會發現那個分杈和整棵樹很像,有些分杈的比例和位置,甚至跟樹本身的分杈比例和位置是一樣的。如果再測量分杈的分杈的分杈,你會發現同樣的現象。假如你直接量葉梗和葉脈,得到的結果還是整棵樹分杈的比例。也就是說,樹是按照固定的某種模式來生長的;

再說動物,人有五個手指,其實就是微縮了人軀幹分出的五個重要分支 —— 雙臂,雙腿,頭;鳥類的爪子也是一樣,頭,雙腳,尾巴。而翅膀平時是收起來的,尾巴卻作為了一個肢體末端映射顯現出來了。因為收起的翅膀不如尾巴的平衡性重要。這個叫做自相像性。”

當然了,這些現象只是給我們一些最簡單的直覺。在數學上,我們說分形是“一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀”。最簡單,大家也最熟悉的例子,就是謝爾賓斯基三角形了。

從一個最簡單的正三角形開始,我們不斷地挖掉中心的小正三角形。就可以源源不斷地得到下面的圖形。

現在提到分形幾何學,我們能想到的,大多數是各種各樣綺麗的幾何圖形。這都要歸功於1967年本華·曼德博發表的論文《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》。

在這篇文章中,他討論了海岸線、科赫雪花、皮亞諾曲線這些經典的圖形的自相似性。這些圖形像巫術一樣印在我們腦海里,好像是上帝造物不小心漏出的奧秘。

皮亞諾曲線

圖片來源:wikipedia

科諾曲線

遞歸實現分形

那麼回到最開始,分形幾何學究竟是怎樣產生的?這都得要從“遞歸”說起。關注我們公眾號的朋友,可能聽說過這個詞好多次了,大家都知道這是一個基本的計算機術語。那麼遞歸到底是什麼?

用簡單的語言來說,它是“在函數的定義中使用函數自身的方法。遞歸一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。”

大家小時候央求爸爸媽媽講故事,一定都聽過不耐煩的爸爸媽媽講的那個偷懶的版本吧?“從前有座山,山裡有座廟,廟里有個老和尚,正在給小和尚講故事。他說:‘從前有座山,山裡有座廟 …’”就是這種被騙的感覺。

這就是遞歸的感覺。

遞歸是故事里的故事,函數里的函數。

其實遞歸的思想最開始並不是為了計算機而產生的,它在數學史上具有非常重要的意義,它是數理邏輯的基石。我在這裏按下不談,相關的邏輯學知識,有興趣的朋友可以去找書來看看。

言歸正傳,我們來正式講一講遞歸。

最常見的一個例子,是計算斐波那契數。

我們定義一個函數f, f(n) 能夠計算第n個斐波那契數。那我們應該怎麼寫這個函數?我們知道斐波那契數列的定義是每個數是前兩個數字之和。那我們可以說f(n) = f(n-1) + f(n-2)就是我們要的函數嗎?

不如舉個例子,如果n=5,我們想知道第五個斐波那契是什麼。

我們知道這個式子可以一直被分解下去,直到f(1), f(0), 甚至到負數。但是這樣一直下去真的有意義嗎?我停在了f(0)和f(1), 因為我們知道斐波那契數列的定義是a0 = 0,a1 = 1。計算一下,遞歸告訴我們,f(5) = 5f(1) + 3f(0) = 5。驗證一下,斐波那契數列0,1,1,2,3,5… 第五個斐波那契數確實是5。所以我們定義

f(0) = 0

f(1) = 1

f(n) = = f(n-1) + f(n-2)

作為最後的函數。

你也可以開動腦筋想一想,怎麼樣用遞歸的方法,畫一個謝爾賓斯基三角形?

用分形幾何,

輕鬆剝石榴!

現在你能體會到遞歸怎樣推動了分形幾何學的發展嗎?

實際上,分形不僅僅在幾何學上有應用,因為它廣泛地出現在自然界中,在醫學、土力學、地震學和技術分析中都有應用, 在自然、技術、藝術、建築甚至法律等領域都有出現。尤其是物理學,大家上高中的時候可能聽說過布朗運動,也就是分子的熱運動。它的軌跡也與分形有關,是隨機分形的一種。另外也有關於混沌理論的運用。其涉獵之廣,引人遐想。

當然了,這篇文章最重要的還是要交給大家怎樣用分形幾何學剝石榴。我不知道大家平時是怎麼剝石榴的,但是讀到分形幾何學之前,我被剝石榴深深困擾著。就是覺得石榴特別好看,可是每次剝得不得要領,滿手都是石榴汁還吃不到幾顆。但在學習分形幾何學之後,我發現了剝石榴的奧秘。

首先,請大家看看石榴頭頂上的“皇冠”,分形幾何學告訴我們,皇冠有多少片“芽”,石榴就有多少瓣。

如果我們把石榴頂摘掉,就能看到石榴內裡像橘子一樣其實也分了好幾瓣兒。要是我們沿著皇冠分割的區域,輕輕地劃幾刀,把頂摘掉以後,就能像剝橘子一樣輕而易舉地剝石榴啦。用這個方法剝,不僅手上干乾淨淨,還能確保沒有遺漏。

想不到吧?一個簡單的剝石榴的過程居然也隱藏著這樣神奇的數學奧秘。生活中類似的數學小原理還有很多很多。我在這裏拋磚引玉啦,你還能想到更多用分形幾何學剝水果的方法嗎?在評論區告訴我們吧!

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