原標題：一粒一粒剝石榴太麻煩？你一定還不知道這個數學原理

作者 | Helen

編輯 | 羅數君

文 2367字 閱讀時間約 6分鍾

導語

相信很多人都被剝石榴深深困擾著，石榴好吃，但剝起來好難！每次搞得滿手都是石榴汁，還吃不到幾顆。怎麼才能輕鬆吃到石榴？在這篇關於分形幾何學的文章里，你一定能發現剝石榴的奧秘！

神奇的分形幾何

我記得初中的時候很流行一本書，叫《天才在左瘋子在右》。書裡面有一章講到了一個精神分裂以後又痊癒的生物學家，他當時正在研究分形幾何學。

書里這樣寫道：

“簡單的舉例：比如說隨便找一棵樹，仔細看一下某枝樹杈，你會發現那個分杈和整棵樹很像，有些分杈的比例和位置，甚至跟樹本身的分杈比例和位置是一樣的。如果再測量分杈的分杈的分杈，你會發現同樣的現象。假如你直接量葉梗和葉脈，得到的結果還是整棵樹分杈的比例。也就是說，樹是按照固定的某種模式來生長的；

再說動物，人有五個手指，其實就是微縮了人軀幹分出的五個重要分支 —— 雙臂，雙腿，頭；鳥類的爪子也是一樣，頭，雙腳，尾巴。而翅膀平時是收起來的，尾巴卻作為了一個肢體末端映射顯現出來了。因為收起的翅膀不如尾巴的平衡性重要。這個叫做自相像性。”

當然了，這些現象只是給我們一些最簡單的直覺。在數學上，我們說分形是“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀”。最簡單，大家也最熟悉的例子，就是謝爾賓斯基三角形了。

從一個最簡單的正三角形開始，我們不斷地挖掉中心的小正三角形。就可以源源不斷地得到下面的圖形。

現在提到分形幾何學，我們能想到的，大多數是各種各樣綺麗的幾何圖形。這都要歸功於1967年本華·曼德博發表的論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。

在這篇文章中，他討論了海岸線、科赫雪花、皮亞諾曲線這些經典的圖形的自相似性。這些圖形像巫術一樣印在我們腦海里，好像是上帝造物不小心漏出的奧秘。

皮亞諾曲線

圖片來源：wikipedia

科諾曲線

遞歸實現分形

那麼回到最開始，分形幾何學究竟是怎樣產生的？這都得要從“遞歸”說起。關注我們公眾號的朋友，可能聽說過這個詞好多次了，大家都知道這是一個基本的計算機術語。那麼遞歸到底是什麼？

用簡單的語言來說，它是“在函數的定義中使用函數自身的方法。遞歸一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。”

大家小時候央求爸爸媽媽講故事，一定都聽過不耐煩的爸爸媽媽講的那個偷懶的版本吧？“從前有座山，山裡有座廟，廟里有個老和尚，正在給小和尚講故事。他說：‘從前有座山，山裡有座廟 …’”就是這種被騙的感覺。

這就是遞歸的感覺。

遞歸是故事里的故事，函數里的函數。

其實遞歸的思想最開始並不是為了計算機而產生的，它在數學史上具有非常重要的意義，它是數理邏輯的基石。我在這裏按下不談，相關的邏輯學知識，有興趣的朋友可以去找書來看看。

言歸正傳，我們來正式講一講遞歸。

最常見的一個例子，是計算斐波那契數。

我們定義一個函數f, f(n) 能夠計算第n個斐波那契數。那我們應該怎麼寫這個函數？我們知道斐波那契數列的定義是每個數是前兩個數字之和。那我們可以說f(n) = f(n-1) + f(n-2)就是我們要的函數嗎？

不如舉個例子，如果n=5，我們想知道第五個斐波那契是什麼。

我們知道這個式子可以一直被分解下去，直到f(1), f(0), 甚至到負數。但是這樣一直下去真的有意義嗎？我停在了f(0)和f(1), 因為我們知道斐波那契數列的定義是a0 = 0，a1 = 1。計算一下，遞歸告訴我們，f(5) = 5f(1) + 3f(0) = 5。驗證一下，斐波那契數列0，1，1，2，3，5… 第五個斐波那契數確實是5。所以我們定義

f(0) = 0

f(1) = 1

f(n) = = f(n-1) + f(n-2)

作為最後的函數。

你也可以開動腦筋想一想，怎麼樣用遞歸的方法，畫一個謝爾賓斯基三角形？

用分形幾何，

輕鬆剝石榴！

現在你能體會到遞歸怎樣推動了分形幾何學的發展嗎？

實際上，分形不僅僅在幾何學上有應用，因為它廣泛地出現在自然界中，在醫學、土力學、地震學和技術分析中都有應用， 在自然、技術、藝術、建築甚至法律等領域都有出現。尤其是物理學，大家上高中的時候可能聽說過布朗運動，也就是分子的熱運動。它的軌跡也與分形有關，是隨機分形的一種。另外也有關於混沌理論的運用。其涉獵之廣，引人遐想。

當然了，這篇文章最重要的還是要交給大家怎樣用分形幾何學剝石榴。我不知道大家平時是怎麼剝石榴的，但是讀到分形幾何學之前，我被剝石榴深深困擾著。就是覺得石榴特別好看，可是每次剝得不得要領，滿手都是石榴汁還吃不到幾顆。但在學習分形幾何學之後，我發現了剝石榴的奧秘。

首先，請大家看看石榴頭頂上的“皇冠”，分形幾何學告訴我們，皇冠有多少片“芽”，石榴就有多少瓣。

如果我們把石榴頂摘掉，就能看到石榴內裡像橘子一樣其實也分了好幾瓣兒。要是我們沿著皇冠分割的區域，輕輕地劃幾刀，把頂摘掉以後，就能像剝橘子一樣輕而易舉地剝石榴啦。用這個方法剝，不僅手上干乾淨淨，還能確保沒有遺漏。

想不到吧？一個簡單的剝石榴的過程居然也隱藏著這樣神奇的數學奧秘。生活中類似的數學小原理還有很多很多。我在這裏拋磚引玉啦，你還能想到更多用分形幾何學剝水果的方法嗎？在評論區告訴我們吧！