院士教你學數學,想掌握微積分的精髓一個案例就夠了
2019年08月31日10:28

  文章來源:SELF格致論道講壇

  “我們在學習時很忌諱不講發明,只講證明;不講道理,只講定理。所以我希望數學文化發生改變,變成講道理的學問,變成講發明的科學。”

林群   中國科學院院士
林群   中國科學院院士

  聊聊各個階段的數學

  林群:各位聽眾,今天很有幸能跟各位談論一點有關數學的事情。

  數學知識太多了,我們不可能統統掌握,所以只能在眾多的數學分支裡面,挑選那些最重要的進行學習。

  什麼是最重要的呢?比如說我們小學學的算術,那是人類幾萬年智慧的結晶。小學唸完念中學,中學是簡單的代數,也相當於算術的發展,還有一些初等的幾何學,這是人類幾千年的智慧結晶,所以我們要學。

  中學唸完念大學,大學學什麼呢?大學主要學微積分和線性代數,這個是人類幾百年探索的結果。

  總而言之,人類留下的財富需要我們站在巨人的肩膀上來吃透它,消化它。所以我們必須學習,否則就要回到黑暗中重新探討,那太可怕了。

  我想引用哈佛大學數學系教授邱成桐的講話。聽說他經常告誡學生,“要學好微積分和線性代數,歸根結底一切高級的數學都是微積分和線性代數的各種變化。”

  所以,我們學習必須有重點,不能夠鋪開學,太多了,反而學不好。“多則少”,你想學很多,你得到很少;反過來“少則多”,如果你學得很少,比如你就學一點小學數學,學一點中學數學,再學一點大學數學,大學數學就是指微積分和線性代數,這些學習內容對我們的一生都是非常有助益的。

  我再重複一遍,多則少!大家不要什麼都學,不要學得很多,也不要做很多。現在有各種活動吸引我們,但是我覺得對於學習來說,這些只能起到輔助的作用。

  最重要的還是在課堂上學習,把正課學好。把小學的數學,最簡單的算術學好,把中學數學最簡單的代數和幾何學好,把大學的數學學好,就是把微積分和線性代數學好,這是最重要的。

  然後,在接下來的工作中再發展,繼續學習,因為學無止境。這是第一點意見,供各位家長和學生參考。

  怎樣學習數學

  怎麼學習數學呢?數學太難了,我是最怕數學的,我們一家人都怕數學,我認識很多朋友,包括各種各樣工作場合,都最怕數學。

  所以數學怎麼學,是我很苦惱的問題。我是經常在心裡面思考這個問題的。

  剛才我說了,邱成桐先生認為,微積分是一切高級數學的基本功。但是,微積分怎麼學呢?你翻開一本教課書,講解微積分要用好幾百頁。

  我從50年前就開始學微積分了,但是看一些教課書,我看得暈頭轉向,講的內容太多了。

  許多教科書很繁瑣,大家要警惕。所以我們要把微積分學好,不是讀萬卷書,不是走萬里路,而是儘量“投機取巧”。

  我認為學微積分跟學別的數學一樣,“假傳萬卷書,真傳一案例”,把一個案例學好,你就把整個微積分的精神掌握了。

  學習微積分用什麼案例呢?應該用我們平常生活里經常見到、經常用到的案例。

  比如我們經常坐高鐵,高鐵車廂裡頭有一個標誌顯示當前的時速是多少,也就是一小時走多遠。速度就是路程除以時間。

  我們經過天津站的時候,就顯示時速多少,經過大連站時也會顯示時速多少。時速是什麼意思呢?就是指某一時刻的速度,某一時刻的速度是什麼意思?

  你看,那個時刻不動,時間等於零,沒有時間,火車不能運行,所謂當時的速度,你仔細想想,是一個0除以0的問題,沒有時間,就沒有路程。那麼路程比時間,速度就是0比0。0比0的問題是很嚴重的,使得牛頓這樣的大物理學家都覺得傷腦筋。

  但是牛頓很聰明,他想出了辦法計算瞬時速度。他設想,火車在很短的時間里,走過很短的距離,因為時間很短,火車沒有時間加速,所以它的瞬時速度應該是可以這麼計算的,把它變換成一個在很短的時間裡面走過的很短路程。

微積分說明書
微積分說明書

  大家好好想想看,時間很短,火車沒有時間加速,所以,速度只有很小的變化,用這個辦法來計算,我這裏寫的,小路程,由x點跑到x+h點,很短的時間內,瞬時速度變化很小,因為沒有時間變化,時間太短了,瞬時速度很小。

  瞬時速度+小變化,再乘以短時間,小路程是這麼算出來的,小路程是瞬時速度+小變化,然後再乘以短時間。把它分開,小學的算術學過了,(A+B)×C=A×C+B×C,瞬時速度×短時間+小變化×短時間,時間縮短以後,小變化就很小,基本上被消滅掉。

  全路程就是小路程加起來,小路程加起來是什麼意思呢?就是瞬時速度×短時間,加起來,再加上小變化×短時間,短時間加起就是總時間。

  比如說北京到上海是一小時,一小時就是總時間。總時間是固定的,比如說一小時,總時間乘以小變化還是很小,因為時間是固定的,時間不變,就是一小時,乘以小變化,還是小變化。

  總而言之,全路程是瞬時速度乘以短時間相加,再加上小變化乘以總時間,小變化乘總時間還是小變化,因為總時間是固定的。

  比如說一小時,小變化乘一小時,還是小變化。通常是這樣,如果瞬時速度不斷走,短時間加起來,積累得很多,就是積分了。這個是等於把小學、中學的數學,到大學換了一個名詞。

  小學的數學跟大學的數學、初等數學和高等數學,本質的區別不大,但是要換一個稱呼,把原來的相加變成積分了。

  這樣的話,就變成一個速度×時間的積分,然後加上小變化×總時間。如果時間不斷縮短,小變化就沒有了,整個就是速度×時間的積分,也就是路程是速度×時間的積分。這樣子就是大學微積分的製高點了,有了這個製高點就好辦了。

  以火車的瞬時速度為案例講這麼多,是希望把整個微積分展開在你面前,面對案例要認真分析,認真思考,看以下附錄。

  從小朋友到年齡大一點的人,都應該把瞬時速度作為我們的思考題,在某一時刻,火車的速度究竟是多少?某一時刻,時間沒有變化,速度等於路程除以時間,某一時刻,如果時間沒有變化,路程還是那個路程,所以速度應該是0比0。

  但是牛頓很聰明,把這個問題變通了,最後變成瞬時速度+小變化,再乘以短時間,後面的演算是比較簡單的,這樣微積分就掌握了。

  我強調一下,“假傳萬卷書,真傳一案例”,所以我們要找真傳,不要讀很多書。很多人認為應該“走萬里路,讀萬卷書”。

  我的經驗不是這樣的,因為我是很笨的人,我讀書讀得很慢,不可能讀萬卷書。我讀一本書就滿頭大汗,讀幾年都讀不懂,最後才發現上當了,原來真傳只有一個案例。今天要講的就是從哲學的角度來講學習方法,你們要記住:假傳萬卷書,真傳一案例。

  我想再說一說,我們現在教科書有很大的問題。容許我批評一點,我們的教科書把簡單的東西講得很複雜。能夠通過一個案例說清楚的,不講案例,卻講怎麼證明,怎麼推導定理,這就是假話。

  事實上,證明是靠發明的,定理是靠道理的,所以我們首先應該給學生講道理,講發明,而不是講定理,講證明。

  當我們把道理弄清楚了,多數情況下證明自動就弄清楚了。比如說剛才講的微積分,把火車瞬時速度的案例搞清楚,證明兩行、三行,最多四行就出來了。

  現在書上不講道理,現在的教科書證明剛才這樣的一個定理就是一本書。我們在學習時很忌諱“不講發明,只講證明;不講道理,只講定理”。

  所以我希望數學文化發生改變,變成講道理的學問,變成講發明的科學。

  其實據介紹說,牛頓是三一學院里的平凡學生,當時倫敦出現瘟疫,他逃到鄉間,在鄉間思考,Apple打到頭上發現了萬有引力定律。

  不管故事是否真實,但是說明了一個問題,只有在鄉間,不在學校裡面,不過忙碌的生活,思考才能做出創造。

  現在我們的活動太多了,沒時間思考。你看小學生參加多少活動、競賽,中學生的活動更多。

  家長要改變自己的做法,讓孩子有閑暇的時間,在樹下散散步,在湖里遊游泳,讓他們去思考,去發明,不要整天考試。

  考試是一個機器,我也接觸了個別的考試能手,我非常佩服他們,他們做題比我快得多,一眨眼就做出來了,但是他們不知道在做什麼題。

  所以家長們最好不要希望孩子一個個都是考試能手,應該讓孩子過平常的生活。天天都可以考試,你從小學考起,中學也考,大學也考,我進大學就考了一百題,一天考一百題。

  所以考試很平常,沒什麼了不得,讓他去考,考得好,考不好都不要緊。牛頓之後最偉大的科學家是愛因斯坦,愛因斯坦大學畢業的時候成績不算好,在專利局做三級科員。

  就是這樣一個三級科員,一個在大學學的很差的平凡學生,結果做出很大成就。因為他會思考,他反對不思考就進行推理,反對不思考就進行證明,這讓他成為繼牛頓之後最偉大的科學家。

  我們希望各位同學都應該把自己看作一個平凡的人,看作是三級科員,看作是很差的學生,但是我們有正確的學習方法,我們知道案例學習,我們一個案例頂萬卷書,這樣的話效率其實是很高的。

  所以我今天就講這些,希望一個案例頂萬卷書,希望大家學得少,學得好,千萬不要圖多,嚼不爛,結果什麼都懂,又什麼都不懂。

  一個很有名的故事,一個牧師在布道,牧師越講越激動,可是觀眾一片睡著了,我希望你們沒有睡著,那就是成功了,謝謝大家!

  主持人:非常感謝林老師精彩的報告,如雷貫耳,現在和現場觀眾朋友們進行互動。

  林群:我再補充一句,為了防止很多人攻擊我,我首先說,我自己就不懂得數學,我自己學得很差。說實在話,我們這些人都沒有成就,哪些人有成就呢?

  比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到,我相信屠呦呦的智商並不一定很高。我不認識她,我覺得她可能是很平常的人。可是她一輩子鑽研了一件事情,少則多,她只做一件事,研究中藥——青蒿素。

  就這一件事情救了非洲多少萬人,這就是她的貢獻。誰偉大?還是屠呦呦偉大。BBC選出100年來最偉大的三位科學家,就是愛因斯坦、圖靈和屠呦呦。

  與觀眾互動

  主持人:接下來進入一個互動的環節,在場的選兩個問題,一個小朋友,一個家長,誰想提問,舉手。

  觀眾1:現在這個社會,我認為是比較注重考分的,很多大學,他們都是以考分為準。在工作方面,很多公司也是要看你是從哪個大學畢業。雖然我非常讚同您的觀點,數學確實應該去多思考,不應該那樣死板。考試那些東西沒用,但是對於現在這個社會,還是以考分為主,您對此持什麼觀點?

  林群:最近大家都經常講到考試的問題,我覺得這個不重要。剛才說的奧賽冠軍,當然很厲害,比我不知道厲害多少,我做一年,他可能一下子就做完了。

  要知道,他是一個解題能手,但是他沒有提出問題的能力,有什麼用處呢?你給他這個題做,他給你做,但是他沒有想法,所以不要羨慕這些人。

  我自己認為,屠呦呦是我們的榜樣,玩青蒿素玩了一輩子,玩出了諾貝爾獎。

  你說她是天才嗎?她是神童嗎?所以我們家長要求太低了,就要求孩子考得好,可以找到好職業,這算什麼呢?考得好,好職業算什麼,真的有貢獻的人,就不能僅僅靠考試。

  考試很平常,考試沒什麼的,我告訴你,我進大學,一天考一百道題,考好又怎麼樣?現在誰問你考多好?

  我們很值得追查屠呦呦這個人的經曆,究竟她小學、中學、大學學得怎麼樣,我相信對我們會帶來鼓勵。

  普通人都能學好數學,普通人都有貢獻,只要有屠呦呦那樣的精神。能做出貢獻的不是那些“才子佳人”,我覺得那些都靠不住。

  主持人:謝謝,我理解林老師說數學這個東西,普通人只要努力用功就能學好,考100分算不了什麼,要有更遠大的目標。

  林群:考100分不算什麼,要求不能太低。比如說我進廈門大學的時候,一天做100題,你就考了100分又算什麼?

  我後來進中科院,到現在沒做什麼好工作,我敢這麼說自己,我都看不上自己,因為我沒有屠呦呦那樣的精神。

  只是我年紀大知道已經晚了,屠呦呦年輕時就找到了正確的方向。她看中了中草藥,最後成功了。

  所以家長對你們的孩子,要求要更高,一定不能說僅僅要考得好,找到好職業就行了,好職業算什麼?

  我們中國還有一個世界名人,研究三體問題的數學家,在世界範圍內都很有影響力,大家都認為他是非常了不起的榜樣,可是他是一個來自山西的很普通的學生。他的生活也很普通,職業也一般,但是他做得很好。

  我們在很好的地方,我1956年就在中科院,多好的地方,可是我做出什麼成績來,我看到他,覺得差太遠了。像我這樣的人,在科學上根本不值一提,為什麼呢?家長們,一定要要求高,不能只要求孩子考得好,找到好職業。

  主持人:應該再狠一點,不能僅僅要求他們100分。

  林群:對,我再講一個。我們都很關心人大,人大開完會,選出很多部長。你看看部長的經曆,大部分是從基層出來的,這才是真正的人才。

  部長是國家棟樑,大部分人都是小學唸得很普通,在農村一步步成長的,然後從科員、科長慢慢鍛鍊出來,這才是中國真正的人才。

  主持人:給大家解釋一下,林院士是30後,1935年出生的,跟我爺爺年紀差不多。

  林群:我比他爺爺大得多了,我84歲。

  觀眾2:林院士好,主持人好!大家的掌聲已經說明了對您的觀點的認可,但是在數學上,否定一件事情比肯定一件事情容易很多。

  我的問題是,現在的評價製度,或者說分數的評價製度是不好的。我們要引導孩子們去思考,養成思考的習慣或者思維方式,但是我們到底應該怎麼做呢?

  主持人:您覺得有沒有什麼更好的方式,比現在的製度更適合我們目前的狀況的?

  林群:對於這個問題,我是沒有經驗的,但是我覺得,家長要對孩子管得嚴,還是應該強調成績的。

  比如說我知道國外一些學生,他們怎麼教育孩子呢?他們覺得孩子喜歡什麼,就應該鼓勵他們做什麼。結果這些孩子都去念動物學,因為孩子愛狗,愛貓。

  如果孩子喜歡貓,我們家長就讓他念貓學,喜歡狗就念狗學,喜歡動物,就去念動物學,都去做動物學,行嗎?別的行業誰做呢?

  我們中國的家長,讓孩子把小學、中學、大學唸好,這是基本功,把這個唸好,做什麼都可以。

  不能置之不理,讓孩子自動放棄他的教育。小孩不懂學習的重要性,你不逼他,他就無法全面發展,所以還是要“逼”小孩唸書。

  只是說,要對小孩要求高一點,要讓他思考,不能滿足於他考得好,得一點小獎,不能滿足於這些彫蟲小技。

  但是這些很難做到,我們每個人都希望孩子受最好的教育,孩子受最好的教育,不一定能培養出好科學家。

  聽說過去有一個高考狀元,結果去當和尚,當和尚不是不好,但是說明他的發展有限。你學再好有什麼用處,最後你沒有對社會有貢獻。

  而像屠呦呦這樣的人,對社會貢獻非常大,我相信她學得不一定最好,但是她研究青蒿素就能成功。

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