3n+1猜想:遙遠而又神秘未知世界投射過來的一縷微光
2019年03月18日09:40

  來源: 職業數學家在民間

  天上有多少顆星星,數學中就有多少個未解之謎。如果要我從數學中選出一顆最神秘的星星,那我一定會選著名的3n+1猜想。

  看似非常簡單的一個問題

  3n+1猜想的具體表述是非常簡單的:

  對任何正整數n做如下變換,如果n 是偶數,則讓它變成n/2(也就是減半); 如果n 是奇數,則讓它變成3n+1。任何一個正整數n,一直按照這個法則變換下去,最終會變成1。

  下面是幾個簡單的例子:

  1、從12開始,我們得到變換序列12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

  2、從19開始,我們得到變換序列19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

  3、從27開始,情況變得複雜了,按照上面的法則,變換的整數值逐漸變大,最大值達到9232,不過最終還是變回1:

  27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

  目前,人們對於小於1018的數都已經驗證了3n+1猜想。

  但驗證和證明完全是兩碼事。

  就是這樣一個連小學生都能聽懂的猜想,它的證明難倒了這個時代的所有數學家!

  所有!

  數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題

  現在已經無法確切考證3n+1猜想到底是誰先提出來的。但是有文獻顯示早在上個世紀30年代,德國數學家Lothar Collatz 就考慮過類似問題,所以3n+1猜想經常被稱作考拉茨(Collatz)猜想。由於3n+1猜想是由一個名叫角穀的日本人傳到中國,所以在國內又稱角穀猜想。當然了它還有許多其他的名字,但我認為稱其為3n+1猜想是最合適的。

Lothar Collatz(1910-1990)
Lothar Collatz(1910-1990)

  上個世紀五六十年代,3n+1猜想傳入美國後,瘋狂吸引了大量的數學專業師生,據說這個猜想傳入耶魯大學數學系時,整個系的人,從本科生到資深教授,在整整一個月的時間內都在試圖證明它。同樣的事情也發生在芝加哥大學。當時甚至有人宣稱,3n+1猜想可能是一個試圖摧毀美國數學研究事業的陰謀。

  時至今日,關於3n+1猜想的研究也不是沒有進展,比較有代表性的工作是Krasikov 和 Lagarias 在03年發表在《Acta Arithmetica》的論文中證明的結果:

  在比 n 小的整數中,能滿足這個猜想的整數的個數至少是 cn0.84 。其中c是一個固定常數。

  但這些工作和3n+1猜想本身比起來太微弱了,絲毫沒有撼動這個巨石猜想。

  3n+1猜想到底有多難呢?大數學家厄特希(P.Erdos)曾說過:“數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題!” 數學天才陶哲軒也認為這個猜想不太可能被當前的技術證明。

  背後是一大堆的猜想和問題

  3n+1猜想並非一個孤立的猜想,而是一大堆類似猜想中最簡單,最有代表性的一個例子。3n+1猜想本身也可以有許多的延拓和推廣。

  注意所有的整數可以分成偶數(2n 型)和奇數(2n+1 型)這兩類。如果我們定義如下的正整數函數 f ,它在偶數和奇數上分別定義為:

  f(2n)=n; f(2n+1)=3(2n+1)+1,

  那麼3n+1猜想等價於說任何正整數在f的迭代下都會進入循環4→2→1。

  如果把f擴充為所有整數的函數,那麼廣義的3n+1猜想是說任何整數在f的迭代下都會進入下面四個循環

  當然,我們也可以把3n+1替換成3n+m,(其中m是任意不被3整除的奇數)。那麼3n+m猜想是說任何整數在相關函數的迭代下都會進入有限個循環。

  但是,如果我們用把3n+1替換成kn+1(k是大於3的奇數),那麼新函數的迭代性質就有了根本的變化,我們一般都猜想,當k大於3時,幾乎所有整數在新函數的迭代下會趨於無窮。所有這些猜想的難度都絕不亞於3n+1猜想本身。

  最後再舉另外一個比較著名的整數迭代函數 U 。注意所有的整數可以分成偶數(2n 型),4n+1 型的數和4n+3 型的數,這三類,而U函數在這三類數上的定義分別為:

  U(2n)=3n; U(4n+1)=3n+1; U(4n+3)=3n+2。

  這個迭代函數也是由考拉茨(Collatz)最先考慮過的。Murray Klamkin在1963年提出一個公開的問題:

  整數n=8在函數U的迭代下是否趨於無窮?

  一般我們都認為應該會趨於無窮,比如迭代序列剛開始時是:

  8→12→18→27(27=4*6+3)→20→30→45(45=4*11+1)→34→51→38→57→……

  但這樣一個如此特殊的猜想到現在也依然無法證明。

  太難太難了!

  而這僅僅是我們在這一大類問題里所碰到的最為簡單,最為特殊的情形。關於這一類問題的最一般的表述和猜想,以及3n+1猜想的歷史,大家可以參考Lagarias編輯的論文專著《The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem》。這部專著取名:《終極挑戰》。

  是啊,3n+1猜想當之無愧地成為對人類智力的終極挑戰!

  和現有的數學分支有多少關聯呢?

  如果從1出發,運用逆向的變換法則,我們就會得到著名的考拉茨圖(Collatz graph),下面是19步逆向變換內得到的考拉茨圖

  圍繞考拉茨圖(Collatz graph),從圖論的角度,有許許多多很有意思的研究工作,但基本上都無助於解決3n+1猜想。

  另外,3n+1猜想中修正的迭代函數

  f(2n)=n; f(2n+1)=(3(2n+1)+1)/2=3n+2

  也可以擴充成2-adic 整數環,或者複數域上的迭代函數,因此可以從遍曆理論或者複動力系統的角度來研究3n+1猜想。特別值得一提的是複數域上的迭代函數 F 有如下比較簡單的表達形式:

  下面是這個函數 F 的Julia 集,也就是在 F 的迭代下保存有界的那些複數構成的集合。是不是很美?其實許多函數的Julia 集都非常精美!

  值得一提的是在 1972年, 數學家Conway證明了3n+1猜想比較一般的推廣問題從數理邏輯的角度來看是不可判定的(undecidable)。但這也無助於解決3n+1猜想和其他具體的類似猜想,就像所有丟番圖方程不可判定的著名結論無助於求解具體的丟番圖方程。

  還有一些工作從概率論和隨機過程的角度理解3n+1猜想,或者將其與有限維代數聯繫起來,並得出一些等價命題,限於篇幅我們就不一一介紹了,有興趣的朋友可以查閱這兩本專著。

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  遙遠而又神秘的未知世界透射過來的一縷微光

  其實數學各個領域中都不乏著名的難題和猜想,比如黎曼猜想,多項式表達素數的一堆猜想,關於Artin L-函數的Artin 猜想,代數數n進製展開或連分數展開的Borel 猜想,群論中的伯恩賽得猜想,等等。這些猜想難度也是無法估量的,甚至影響整個分支的進展。但是這些猜想所處的數學分支比如解析數論、代數數論、丟番圖逼近、群論,即使談不上非常成熟,但至少也是自成體系,枝繁葉茂。這些猜想雖然也是非常非常地困難,但其最終的解決也是無法脫離相關數學分支既有的數學思考範式。

  然而3n+1猜想和上面這些數學猜想完全不一樣,3n+1猜想代表的是哪一類數學,我們完全不知道。我認為關於3n+1猜想的研究如果想取得重大進展,一定要徹底突破現有的數學思考範式。(不少人認為現代動力系統的不斷髮展有可能最終解決3n+1猜想,但我認為沒有那麼簡單)

  如果把上面提到的那些猜想比作數學未知海洋世界的冰山一角的話,那麼3n+1猜想更像是從遙遠而又神秘的未知世界透射過來的一縷微光。那是一個全新的數學世界,遠遠超越了當代所有職業數學家的數學想像力。

  在我的數學職業生涯中,每隔兩三年我都會抽出一段時間(短則半個月長則兩三個月)來思考3n+1猜想。雖然每次都是無功而返,但我非常享受思考3n+1猜想的美好時光,那種美妙的感覺絕不亞於和一位美麗情人的幽會。

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