黎曼猜想被證明?abc仍是猜想?震驚數學界兩大新聞
2018年09月23日09:13

  來源:中科院物理所

  今天收到了許多讀者的留言詢問黎曼猜想是否被證明了,這是因為著名的數學家邁克爾・阿蒂亞(Michael Atiyah)宣佈將在9月24日的海德堡獲獎者論壇(Heidelberg Laureate Forum)上公佈自己證明黎曼猜想的方法。

○ 海德堡獲獎者論壇的官方Twitter證實了這一消息。可能是他們的小編過於激動,把24日打成了25日。
○ 海德堡獲獎者論壇的官方Twitter證實了這一消息。可能是他們的小編過於激動,把24日打成了25日。

  自提出以來,黎曼猜想已經困擾了數學家一個多世紀。證明黎曼猜想無疑是數學家夢寐以求的願望。因此對許多人而言,這個消息既讓人興奮,又讓人懷疑。我們並不知道阿蒂亞給出的答案是否就是正確的,也不知道證明過程是否足夠優雅簡潔,能夠很快被其他數學家消化。或許其他人可能要花上數年的時間才能做出判定。例如,我們不久前提到的破解了數學物理領域的13個難題中的“量子霍爾效應”,就耗費了多年的時間才得到了學界的認可(詳見:《“已解決!” 數學物理領域的13個難題,終於有一個被完全破解!》)。

  在沒有獲得更多的信息之前,我們還無法知道黎曼猜想是否被證明了。但無論結果如何,這都是值得期待的一天。

  而另一個重磅新聞,也是今天將著重討論的主題,則是曾經轟動一時的abc猜想的證明――它似乎正在面臨史上最大挑戰!

ABC仍然是猜想?
ABC仍然是猜想?

  ABC仍然是猜想?

  2012年,日本京都大學的望月新一(Shinichi Mochizuki)在四篇總長度超過500頁的論文中,提出了數論中最深遠的問題之一――abc猜想的證明方法。但是,幾乎沒人能看懂他的論文,因為他採用的是自己發展起來的數學工具。除他本人之外,數學界並無他人通曉,致使無人能對望月新一的證明做出判斷。

  但就在昨天,新晉菲爾茲獎得主Peter Scholze和數學家Jakob Stix在線上發表了一篇題為《為什麼abc仍然是猜想》的論文,宣稱找到了abc猜想證明的“嚴重的、不可修復的裂縫!”

○ 左:Peter Scholze;右:望月新一通過視頻回答眾人的疑惑。| 圖片來源:Nyani Quarmyne/Philipp Ammon
○ 左:Peter Scholze;右:望月新一通過視頻回答眾人的疑惑。| 圖片來源:Nyani Quarmyne/Philipp Ammon

  Peter Scholze和望月新一都是數學界的兩位巨匠,他們都做出了革命性的貢獻,開闢了新的框架並解決了大的問題。而不同的是,Peter Scholze的思想很快就可以被數學界吸收學習,而望月新一的理論至今都沒有被主流數學界完全理解並承認。

  雖然有十多名深入研讀過這個證明的數學家認為它是正確的,但是數學家Brian Conrad在去年十二月的博客討論中評論說,斷言證明正確性的只有”望月圈子“里的數學家,而其他人即使是在非正式的情況下,也沒有願意表達他們相信望月新一的證明是完備的。

  芝加哥大學的Frank Calegari在十二月的博客文章中寫道:“數學家們非常不願確切表示望月新一的論證有問題,是因為他們無法指出任何明確的錯誤。”

  現在,事情出現了轉機。Scholze和Stix稱,在望月新一四篇論文中的第三篇的“推論3.12”中,其證明結尾處有一行論證是根本錯誤的。而這一推論是望月新一abc證明的核心。

  Scholze說:“我認為abc猜想仍然是開放的問題,任何人都有機會證明它。”

  Scholze和Stix的結論不僅僅是基於他們自己對於那些論文的研究,還基於他們在今年三月份到訪京都大學與望月新一和他的同事Yuichiro Hoshi討論這個證明的經曆。Scholze表示,這次為期一週的拜訪幫助他和Stix提煉出了直達本質的反對理由。他們在報告中寫道,他們“得出結論,(abc猜想)並沒有證明”。

  但是他們的會面並沒能產生令人滿意的結論:望月新一無法說服Scholze和Stix確信他的論證是堅實可靠的,而他們二人也無法讓望月新一信服他的證明是不正確的。現在,望月新一將Scholze和Stix的報告,以及幾篇自己的反駁報告發佈在自己的網站上。

  在反駁中,望月新一將Scholze和Stix的批評歸因於他們對他的工作有著“某些根本性的誤解”。

  正如同望月新一極高的聲譽會讓數學家將他的工作視為對abc猜想的一次認真嚐試,Sholze和Stix的地位也會確保數學家將關注他們說了什麼。儘管只有30歲,Scholze已經迅速上升到他所在領域的頂端,在八月,他才剛剛被授予了代表數學界最高榮譽的菲爾茲獎。同時,Stix是望月新一研究的遠阿貝爾幾何(anabelian geometry)領域的專家。

○ Jakob Stix是遠阿貝爾幾何領域的專家。| 圖片來源:MFO
○ Jakob Stix是遠阿貝爾幾何領域的專家。| 圖片來源:MFO

  什麼是abc猜想?

  abc猜想是數論領域中最重要的難題之一,是最初由法國數學家Joseph Oesterlé和英國數學家David Masser在1985年提出的純數學問題。它的名字源於一個簡單的方程 a+b = c,但它包含了對數的自然屬性最深刻的探尋,直擊數的基本性質。數學家們長期以來認為這個猜想是正確的,但卻從來沒有人能夠證明這一點。

  在方程中, a、b、c三個數字都是正整數,且沒有共同的質因數。因此,我們可以考慮諸如 8 + 9 = 17 或者 5 + 16 = 21 這樣的方程,但不能是 6 + 9 = 15,因為6、9和15都可以被質數3整除。

  如果給定這樣一個等式,我們可以找出能夠被三個數同時整除的所有質數,例如對於方程 5 + 16 = 21,所有的質數有5、2、3、7。將這些質數相乘會得到210,比初始方程中的任何一個數都大得多。與此相反,對於方程 5 + 27 = 32,所有質數是5、3、2,它們的乘積是30,比初始方程中的32小。這個乘積之所以很小是因為27和32都只是很小的質因數(分別是3和2)多次相乘得到的。

  如果開始尋找其他abc三元組,會發現第二種情況非常罕見。例如,對於使用1到100之間的a和b能夠產生的3044個不同的三元組,只有7個方程中這些質數的乘積小於c。上世紀八十年代首次提出的abc猜想試圖證明這一直覺,那就是這種三元組很少出現。

  更具體地說來,仍舊回到5 + 27 = 32這個例子,32比30大,但是只大了一點點。32比30?或者301.5小,甚至也比301.02(約等於32.11)小。abc猜想說的是,選定任何一個大於1的指數x,只存在有限多的abc三元組使得c比質因數乘積的x次冪大。

  牛津大學的Minhyong Kim說:“abc猜想是關於乘法和加法的非常基本的表述。”這是那種“你彷彿在揭示數字系統的某種非常基本的結構,是你從未見過的結構”的論述。

  a+b=c的簡單性意味著,許多其他問題都可以歸入這個猜想的範圍。例如,費馬大定理是關於形式為xn+ yn= zn的方程(對於n>2的正整數,不存在三個正整數x,y,z使得方程成立);而卡塔蘭猜想斷言,8=23和9=32是僅有的兩個都是正整數冪的連續整數,也就是關於方程xm+1=yn的解的問題。(特定形式的)abc猜想會為這兩個定理提供新的證明,並解決一系列相關的開放性問題。

  哥倫比亞大學的Dorian Goldfeld寫道,abc猜想“似乎總是位於已知和未知的邊界上”。

○ 望月新一的論文。望月新一發展了一種全新的數學形式,叫作全面一般化泰希米勒理論(Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT),這是一種將代數元素與幾何學結合起來的理論,他獨自研究了近10年,並用它來解開ABC猜想。| 圖片來源:Jacob Aron/NewScientist
○ 望月新一的論文。望月新一發展了一種全新的數學形式,叫作全面一般化泰希米勒理論(Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT),這是一種將代數元素與幾何學結合起來的理論,他獨自研究了近10年,並用它來解開ABC猜想。| 圖片來源:Jacob Aron/NewScientist

  abc猜想的證明可能產生的大量結果讓數論學家相信,證明這個猜想可能非常困難。所以當2012年傳言說望月新一已經給出了一個證明時,很多數論學家熱情地投身於他的工作,結果卻被不熟悉的語言和不同尋常的陳述所阻礙。定義展開了好幾頁,接著是陳述同樣長的定理,但是這些定理的證明本質上卻只是說“根據定義可以立即得到”。

  Scholze是望月新一論文的早期讀者之一。他以快速而深入吸收數學的能力而著稱,並比很多數論學家都走得遠,在四篇主要論文出來後不久,他完成了他所謂的“粗略閱讀”。Scholze為冗長的定理和簡短的證明所困惑,他覺得這些證明雖有道理卻很脆弱。他之後寫道,中間的兩篇論文真正包含的內容似乎非常少。

  然後,Scholze進展到了第三篇論文中的推論3.12。數學家通常使用“推論”來指之前的更重要定理的次要結果,但是對於望月新一的推論3.12,數學家認為這是證明abc猜想的核心,如Calegari曾寫到的那樣,若沒有這個推論,”就根本沒有證明,這是關鍵的一步”。

  這個推論是中間兩篇論文中唯一一個證明過程超過幾行的定理――它占了整整九頁。當Scholze通讀這個證明時,有一個地方他完全無法跟上邏輯。

  當時只有24歲的Scholze認為這個推論的證明是有缺陷的,但是絕大多數時候,他都遠離關於這些論文的討論,除非有時候直接被問及他的想法。他想,或許其他數學家會從論文中發現他遺漏了的重要想法。也或許,他們會得到跟他相同的結論。無論如何,數學界一定能夠解決這些問題。

  埃舍爾樓梯

  與此同時,其他數學家也在努力研究那些密密麻麻的論文。許多人對在2015年年底於牛津大學舉行的望月新一工作研討會議寄予了厚望,但是當幾位望月新一的密切合作者試圖描述證明的關鍵思想時,“一團迷霧”似乎籠罩到了聽眾身上。Conrad在會議後不久的一篇報告中寫道:“那些理解望月新一工作的人需要更好地跟算數幾何學家溝通,是什麼使得證明有效。”

  在Conrad發表文章之後幾天,他收到了來自三位不同數學家(其中一個是Scholze)的郵件,所有郵件都表達了一個相同的故事:他們能夠理解那些論文,直到一個特定的部分。Conrad隨後寫道:“令他們感到困惑的地方都是推論3.12” 。

  Kim從另一位數學家,現在在京都大學的Teruhisa Koshikawa那裡聽到了類似的關於推論3.12的困擾。Stix也在同一個地方感到困惑。許多數論學家逐漸意識到,這個推論是癥結所在,但是並不清楚是論證有漏洞,還是望月新一需要更好地解釋他的推理。

  2017年底,謠言四起,許多數論學家驚愕不已――望月新一的論文被數理解析研究所的出版部門(PRIMS)接受發表,而望月新一本人是這個期刊的主編。Calegari認為這個安排“非常不妥”,儘管編輯們在這樣的情況下通常會迴避。然而,許多數論學家更為困擾的是這些論文仍然難以閱讀這一事實。

  芝加哥大學的Matthew Emerton寫道:“那些聲稱理解論證過程的專家們沒有一個能成功地向眾多迷惑不解的專家來解釋那些證明。”

  Calegari曾在博客中表示,這是“一場徹底的災難”。“現在,我們處於一種荒謬的境地,在京都它是abc定理,在其他地方則是abc猜想。”

  PRIMS很快對新聞界的詢問作出回應,聲明說,這些論文實際上並沒有被接受。

  Scholze認為,圍繞這個證明的整個討論已經變得“太過於社會化”,每個人都只是在談論說這感覺不像是一個證明,但是沒有人說“實際上是在這一點上沒人理解這個證明”。

  所以在Calegari的博客文章下面的評論部分,Scholze寫道,在推論3.12的證明中,他“完全無法理解圖3.8之後的邏輯”。並補充說,“聲稱理解證明過程的數學家不願意承認在那裡必須有更多解釋。”

  望月新一在京都大學的同事、菲爾茲獎得主森重文(Shigefumi Mori)向Scholze致信,提議他和望月新一見上一面。Scholze找到了Stix,他們兩人在三月份來到京都,與望月新一和Hoshi討論讓人們困惑的證明。

  望月新一解決abc猜想的方法是將問題轉化為一個關於橢圓曲線的問題,這是包含x和y兩個變量的一種特殊類型的三次方程。這個轉化過程很簡單,在望月新一的工作之前就已經眾所周知――將每一個abc方程與穿過x軸上a、b兩點和原點的橢圓曲線聯繫起來――但是它使得數學家能夠利用橢圓曲線豐富的結構,因為橢圓曲線將數論與幾何、積分和其他數學分支連接。同樣的轉化過程是1994年Andrew Wiles證明費馬大定理的核心。

  然後,abc猜想就被歸結為證明與橢圓曲線相關的兩個量之間的一個確定的不等式。望月新一的工作將這個不等式再次轉化為另一種形式,Stix說,這可以被認為是比較兩個集合的體積。在推論3.12中,望月新一試圖證明這個新的不等式,如果這個推論是真的,就能證明abc猜想。

  Scholze和Stix表示,這個證明涉及處在實數的兩個不同拷貝內觀察兩個集合的體積,然後,實數的這兩個不同拷貝又被表示為實數的六個不同拷貝組成的圓的一部分,同時還包括解釋圓上的每個實數拷貝如何與近鄰聯繫的映射。為了追蹤集合的體積如何彼此聯繫,必須理解不同拷貝下的體積測量如何聯繫。

  Stix說:“如果有兩個變量的不等式,但是測量的尺子因為無法控製的因素而有些收縮,那就會失去對不等式實際意義的控製。”

  Scholze和Stix認為,正是在這個論證的關鍵點上出錯了。在望月新一的映射中,測量標尺在局域上相互兼容,但是如果繞著圓走一圈,最終測量標尺看起來將會不同於另一種繞行方式的結果。Stix表示,這種情況類似於埃舍爾著名的蜿蜒樓梯,樓梯向上攀登再攀登,最終卻處在起始位置的下面。

○ 埃舍爾樓梯。| 圖片來源:Klaus Kremmerz for Quanta Magazine
○ 埃舍爾樓梯。| 圖片來源:Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

  Scholze和Stix斷言說,體積測量上的不相容意味著最終的不等式是在兩個錯誤的量之間進行比較。然而,如果做出調整使得體積測量變得整體兼容,不等式就會變得無意義。

  深入研究過望月新一論文的數學家Kiran Kedlaya說,Scholze和Stix已經“識別出一種方法以表明望月新一的論證不可能有效,所以如果論證是正確的,就必須做出一些不同的、更為微妙的證明”。

  望月新一爭辯說,更為微妙的事情恰好是這個證明所做的。他寫道,Scholze和Stix的錯誤在於,他們對本應被視為互不相同的數學對象進行了任意鑒別。

  數學家現在必須吸收Scholze和Stix的論證和望月新一的回應。但是Scholze希望,與望月新一最初的一系列論文的情形不同,這個論證不應該是一個曠日持久的過程,因為他們的反對證明技術性並不是很強。其他數論學家“完全能夠跟上這一週我們與望月新一的討論”。

  望月新一看待事情的方式截然不同。在他看來,Scholze和Stix的批評是源自於“缺乏足夠的時間來深入思考討論的數學問題”,或許還伴隨著“一種深切的不適感,或者說生疏感,因為這是對熟悉的數學對象的新的思考方式。”

  Kim說,那些已經懷疑望月新一關於abc猜想的證明過程的數學家或許會將Scholze和Stix的報告視為故事的結尾。其他人會想要研究新的報告,正如同Kim自己已經開始做的那樣。他在郵件中寫道,在下定決心之前,我認為有需要親自更加仔細地檢查一下證明過程。

  在過去的幾年時間里,許多數論學家已經放棄理解望月新一的論文。但是如果望月新一和他的追隨者能夠提供一個詳盡而連貫的解釋,來說明為什麼Scholze和Stix的圖像過於簡單化(姑且假設它是如此),“這或許會釋放掉很多疲憊,或許還會讓人們有更多意願再次研究abc猜想,” Kedlaya說道。

  與此同時,Scholze說:“我認為直到望月新一做出一些非常實質性的修改,並更好地解釋這個關鍵步驟之前,他的工作不應該被看作一個證明。我並沒有真地看到一個讓我們距離證明abc猜想更近的關鍵想法。”

  無論最終討論的結果如何,望月新一論證的這個特定部分應該會具有更大的清晰度。Kim說:“Scholze和Stix所做的事情是對數學界的重要幫助,無論發生什麼,我相信這個報告將會是得到一個明確結果的過程中的一個進展。”

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